张宇1000题高等数学 第五章 一元函数微分学的应用（一）——几何应用

$A$组

4.曲线$r=\cos2\theta$在$\theta=\cfrac{\pi}{4}$处的切线方程为______。

解  曲线参数方程$\begin{cases}x=\cos2\theta\cos\theta,\\y=\cos2\theta\sin\theta,\end{cases}\theta=\cfrac{\pi}{4}$对应$(x_0,y_0)=(0,0)$，
$\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\biggm\vert_{\theta=\frac{\pi}{4}}=\cfrac{-2\sin2\theta\sin\theta+\cos2\theta\cos\theta}{-2\sin2\theta\cos\theta-\cos2\theta\sin\theta}\biggm\vert_{\theta=\frac{\pi}{4}}=1,$
  切线方程为$y=x$。（这道题主要利用了参数方程求解）

$B$组

6.设$f(x)=|x(3-x)|$，则（  ）
$(A)x=0$是$f(x)$的极值点，但$(0,0)$不是曲线$y=f(x)$的拐点；
$(B)x=0$不是$f(x)$的极值点，但$(0,0)$是曲线$y=f(x)$的拐点；
$(C)x=0$是$f(x)$的极值点，且$(0,0)$是曲线$y=f(x)$的拐点；
$(D)x=0$不是$f(x)$的极值点，且$(0,0)$也不是曲线$y=f(x)$的拐点。

解  由于$f(x)=|x(3-x)|\geqslant0,f(0)=0$，可知$x=0$为$f(x)$的极小值点。由$f(x)=\begin{cases}3x-x^2,&0<x<3,\\-3x+x^2,&x\leqslant0\text{或}x\geqslant3,\end{cases}$可得
$f'(x)=\begin{cases}3-2x,&0<x<3,\\-3+2x,&x<0\text{或}x>3.\end{cases}\\ f''(x)=\begin{cases}-2,&0<x<3,\\2,&x<0\text{或}x>3.\end{cases}\\$
  由于在$x=0$两侧$f''(x)$异号，因此$(0,f(0))=(0,0)$为曲线$y=f(x)$的拐点。故选$(C)$。（这道题主要利用了拐点和极值点定义求解）

14.设函数$f(x)$可导，且满足$xf'(x)=f'(-x)+1,f(0)=0$，求：

（1）$f'(x)$；

解  在方程$xf'(x)=f'(-x)+1$中用$-x$代替$x$，得$-xf'(-x)=f'(x)+1$，从而有
$\begin{cases} xf'(x)=f'(-x)+1,\\ -xf'(-x)=f'(x)+1. \end{cases}$
  解得$f'(x)=\cfrac{x-1}{1+x^2}$。

（2）函数$f(x)$的极值。

解  由$f(0)=0$，得$f(x)-f(0)=\displaystyle\int^x_0\cfrac{t-1}{1+t^2}\mathrm{d}t$，即$f(x)=\cfrac{1}{2}\ln(1+x^2)-\arctan x$。
  由$f'(x)=\cfrac{x-1}{1+x^2}$，得函数$f(x)$的驻点$x_0=1$，且唯一。而$f''(x)=\cfrac{-x^2+2x+1}{(1+x^2)^2}$，所以$f''(1)>0$。故$f(1)=\cfrac{1}{2}\ln2-\cfrac{\pi}{4}$是函数$f(x)$的极小值。（这道题主要利用了构造方程求解）

$C$组

10.设$f(x)=\begin{cases}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(1+\cos\frac{x}{n}+\cos\frac{2x}{n}+\cdots+\cos\frac{n-1}{n}x\right),&x>0,\\1,&x=0,\\f(-x),x<0.\end{cases}$

（1）求$f'(0)$；

解  当$x>0$时，
$\begin{aligned} f(x)&=\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\cos\cfrac{i}{n}x=\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{1}{x}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\cos\cfrac{i}{n}x\cdot\cfrac{x}{n}\\ &=\cfrac{1}{x}\displaystyle\int^1_0\cos t\mathrm{d}t=\cfrac{1}{x}\sin t\biggm\vert_0^x=\cfrac{\sin x}{x}; \end{aligned}$
  当$x<0$时，$f(-x)=\cfrac{\sin(-x)}{-x}=\cfrac{\sin x}{x}$。
  综上所述，$f(x)=\begin{cases}\cfrac{\sin x}{x},&x\ne0,\\1,&x=0.\end{cases}$
  故
$\begin{aligned} f'(0)&=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\cfrac{\sin x}{x}-1}{x}\\ &=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\sin x-x}{x^2}=0. \end{aligned}$

（2）求$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上的最大值。

解  由$f(x)$是$[-\pi,\pi]$上的偶函数，故只研究$[0,\pi]$上的情形即可。
  当$0<x\leqslant\pi$时，$f'(x)=\cfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$，令$g(x)=x\cos x-\sin x$，则$g'(x)=-x\sin x\leqslant0$，且仅当$x=\pi$时，$g'(x)=0$，故$g(x)$在$(0,\pi]$严格单调递减，$g(x)<g(0)=0$，于是$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减，则$f(x)$的最大值在$x=0$处取得，$f_{\max}=f(0)=1$。（这道题主要利用了积分定义求解）

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