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之前我們講解了幾種典型揹包問題的問題模型和解決方法。
其實，揹包問題只是動態規劃問題（簡稱DP）的冰山一角。動態規劃還包含衆多類型，有的問題甚至需要數據結構維護，是信息學競賽中的一個難點，更是一個重點。
今天，我們通過對揹包問題的總結，來講解一下動態規劃的基本思路。
首先，解決動態規劃問題的基本步驟有：設置狀態、枚舉子問題，更新答案。
我們以01揹包作爲例子：
設置狀態
設置狀態的關鍵在於找到我們的目標和哪些自變量有關係，只要把這些自變量加入到狀態中即可。
在這個問題中，我們要求解最大價值，考慮如何設置狀態。
顯然，答案（即最大價值）和每一件物品是否選擇、已用揹包容量有關。那麼，狀態的設置就要和這些要素有關。
由於答案和兩個因素有關，我們很容易就能想到狀態應該是一個二維的數組，一維表示當前處理的物品，一維表示已用揹包容量。
枚舉子問題
子問題的枚舉要做到不重不漏。
根據設置的狀態，枚舉當前解決的這個小問題要從哪些更小的問題轉移而來。
在01揹包的問題中，我們設置了f[i][j]表示前i個物品，佔用了j的空間所能達到的最大價值。
那麼，我們考慮，處理第 i 個物品的時候，它的子問題顯然是處理 i-1 個物品。
接着，處理佔用容量爲 j 時，它的子問題顯然是處理容量爲 j-c[i]（表示選了第i個物品）和j（表示沒選第i個物品）。
我們結合以上兩個方面，可以找到處理 f[i][j] 的子問題是（f[i-1][j-c[i]]）和（f[i-1][j]）。
更新答案
在設置好狀態，並找到子問題之後，就來到了DP的重頭戲，更新答案，也就是設置動態轉移方程。
在轉移的時候，我們要思考子問題與父問題之間的關係，是取max？還是相加減？還是其他操作。
在上述例子中，由於我們要求最大價值，那麼顯然是用兩個子問題的最大值來更新父問題。這樣就能得出轉移方程。
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + w[i])
接下來，我們介紹一下動態規劃的適用範圍。
無後效性。
無後效性是什麼意思呢？
簡單來說，就是父問題的決策不會對子問題的決策造成影響。
以01揹包爲例，無後效性是指不管第 i 個物品選或不選，都不會影響到前 i-1 個物品所做出的決策。換句話說，就是不管第i個物品選或不選，不會對f[0...(i-1)][0...V]的值產生影響。
局部最優與全局最優
另一個要求是局部最優解能推出全局最優解。
這句話應該很好理解。我們用f[i-1][j-c[i]]和f[i-1][j]的值來求解f[i][j]的值，這就是通過局部最優解來推算全局最優解。
這個概念也經常用於貪心算法之中，也是類似的意思。
在接下來的文章中，我會分不同類型再深入講解動態規劃問題，以加強大家對動態規劃問題的理解。