2018徐州G.Rikka with Intersections of Paths

https://codeforces.com/group/NVaJtLaLjS/contest/255471/problem/G
題意：有一棵n個結點的樹，現在給出m條樹上的路徑。現在要從這m條路徑中選出k條路徑，使得這k條路徑至少有一個公共交點，問你總共有多少種方案數。
思路：
有一個重要的性質：一個樹上任意兩條路徑如果有交點的話，那麼這些交點中肯定有一個爲兩條路徑中的一條路徑的lca。
推論：一個樹上任意k條路徑如果有交點的話，那麼這些交點中肯定有一個爲k條路徑中的至少一條路徑的lca。
將此交點稱爲關鍵點。
那麼我們枚舉每一個關鍵點，設經過某點的路徑數爲s，其中有p條路徑的LCA爲這個點，那麼此處的計數就是$\binom{s}{k}-\binom{s-p}{k}$。這樣保證了每個組合只對答案貢獻一次。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=300000+100;

int n,m,k;
vector<int> G[maxn];
int fa[maxn][20],deep[maxn],d[maxn];
long long ans;
int cnt[maxn],lca_cnt[maxn];
ll mod=1e9+7,fac[maxn];

void dfs(int u,int f)
{
    for(int i=0;i<G[u].size();i++)
    {
        int v=G[u][i];
        if(v==f)continue;
        fa[v][0]=u;
        deep[v]=deep[u]+1;
        dfs(v,u);
    }
}

void lca_init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;(1<<j)<n;j++)fa[i][j]=-1;
    for(int j=1;(1<<j)<n;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(fa[i][j-1]!=-1)
            {
                int a=fa[i][j-1];
                fa[i][j]=fa[a][j-1];
            }
}

int lca(int p,int q)
{
    int log;
    if(deep[p]<deep[q])swap(p,q);
    for(log=1;(1<<log)<=deep[p];log++);
    log--;
    int ans=-(1<<30);
    for(int i=log;i>=0;i--)
        if(deep[p]-(1<<i)>=deep[q])
        {
            p=fa[p][i];
        }
    if(p==q)return p; //lca爲p或q
    for(int i=log;i>=0;i--)
        if(fa[p][i]!=-1 && fa[p][i]!=fa[q][i])
        {
            p=fa[p][i];
            q=fa[q][i];
        }
    return fa[p][0];//lca爲fa[p]或fa[q]
}

int dfs2(int u,int f)
{
    cnt[u]=d[u];
    for(int i=0;i<G[u].size();i++)
    {
        int v=G[u][i];
        if(v==f)continue;
        cnt[u]+=dfs2(v,u);
    }
    return cnt[u];
}

ll pow_mod(ll a,ll n)
{
    if(!n)return 1;
    ll x=pow_mod(a,n/2);
    x=x*x%mod;
    if(n&1)x=x*a%mod;
    return x;
}

int C(int n,int m)
{
    if(n<m)return 0;
    return fac[n]*pow_mod(fac[m],mod-2)%mod*pow_mod(fac[n-m],mod-2)%mod;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T;
    cin>>T;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)fac[i]=(long long)fac[i-1]*i%mod;
    while(T--)
    {
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        memset(lca_cnt,0,sizeof(lca_cnt));
        memset(d,0,sizeof(d));
        ans=0;
        cin>>n>>m>>k;
        for(int i=1;i<=n;i++)G[i].clear();
        int a,b;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            G[a].push_back(b);
            G[b].push_back(a);
        }
        fa[1][0]=-1;
        deep[1]=0;
        dfs(1,-1);
        lca_init();
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            int x=lca(a,b);
            lca_cnt[x]++;
            d[a]++;d[b]++;
            d[x]--;
            if(fa[x][0]>0)d[fa[x][0]]--;
        }
        dfs2(1,-1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ans=(ans+C(cnt[i],k)-C(cnt[i]-lca_cnt[i],k)+mod)%mod;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}