簡單題-不用庫函數，求解一個數字的平方根

題目：

如標題所示，不用平方根庫函數，求解一個數字的平方根。

分析：

這個問題有兩個思路：

思路1：採用二分的方式（無處不在的二分），上界初始化爲數字本身，下界初始化爲1，這樣用二分，判斷中間數字的平方和目標數字比較，再修改上界和下界，直到小於一定的閾值。

思路2：採用牛頓法（數值分析中提到），採用微分的方式，從初始點開始，每次迭代，微分求解切線，然後求解切線和x軸的交點，再以這個交點作爲起點，迭代進行。比如求解24，那麼寫出函數：

f(x) = x^2 - 24

我們目標就是求解這個函數的根，函數一階導數是：

f'(x) = 2*x

起始點可以選擇x0 = 24，通過求解，可以得到下一個迭代點的公式爲：

x1 = -f(x0) / f'(x0) + x0

這樣迭代下去，直到最後小於一定的閾值。

算法代碼如下：

/*
 * square.cpp
 *
 *  Created on: 2012-10-4
 *      Author: happier
 */


#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
#define E 0.001		//精度設置

/*
 * 二分法求解
 */
double bSearch(double number, int *count)
{
	//int count = 0;
	double start = 1.0;
	double end = number;
	while(true)
	{
		(*count)++;
		double mid = (start + end) / 2;
		if(mid * mid - number <= E && mid * mid - number >= -E)
			return mid;

		if(mid*mid - number > E)
			end = mid;
		else
			start = mid;
	}

	return 0;
}

/*
 * 牛頓法求解
 */
double newton(double number, int *count)
{
	double x0 = number;
	double x1;
	while(true)
	{
		(*count)++;
		x1 = -(x0*x0 - number) / (2 * x0) + x0;
		if(x1 * x1 - number <= E && x1 * x1 - number >= -E)
			return x1;
		x0 = x1;
	}

	return 0;
}

int main()
{
	int count = 0;	//統計迭代次數
	cout << "Please input the number::" << endl;
	double number;
	cin >> number;

	cout << bSearch(number, &count) <<endl;
	cout << count <<endl;

	count = 0;
	cout << newton(number, &count) <<endl;
	cout << count <<endl;

	return 0;
}

總結：

通過運行發現，牛頓法的求解速度要比二分法快很多，例如求解30000，牛頓法只要11次迭代，可以達到0.001精度，但是二分法需要33次，所以數值分析普遍採用牛頓法進行求根。