1、已经有人讲解的比较清楚，可以参考 https://www.zhihu.com/question/20507061（线性代数中，特征值与特征向量在代数和几何层面的实际意义是什么？）。但是，还是要有自己的理解。
2、矩阵和向量相乘就是向量的映射变换。如果将矩阵换成 squre matix ，那么就是在本向量空间的一种线性变化。这种变换包括方向和数值两个方面的变化。
3、从简单的例子去理解，但不一定正确。从二维的角度去理解，一个二维的square matrix 将一个 向量 做怎么样的线性变换呢？找一个好理解的矩阵A，A可以分解成旋转角度的矩阵V（由两个正交的对称的座标向量组成）和在座标轴上伸缩的对角矩阵D。A = VDV’ ，那么A*b = VDV’*b，按照步骤来看，显示计算V’*b（旋转vector b到V的座标轴，得到V下面新的座标），再计算DV’*b（在两个座标轴方面做数值伸缩，得到V下面的新的座标），最后计算VDV’*b（再次旋转，回到原来座标空间下的座标）
4、迪待续。。。。。