卷積到底是怎麼【卷】的

卷積，這個詞大家應該都不陌生，數學中傅立葉變換的時候，物理中信號處理的時候，圖像處理中濾波的時候、提取邊緣的時候，還有深度學習中卷積神經網絡的時候，處處可見卷積的影子。卷積在圖像處理中的應用非常廣泛，可以說理解了卷積，就可以理解圖像處理算法的半壁江山，也不知道這個說法是否誇張了。

但是都說卷積卷積，那捲積到底是怎麼個卷法呢？本文嘗試解答這一問題。

理解的卷積計算過程

想要理解卷積，一些必要的數學公式是少不了的，放心吧，就下面這一個公式了，所有討論圍繞這一個公式展開。

我們從維基百科中對於卷積的解釋引入：

設：$f(x)$,$g(x)$ 是 $R$上的兩個可積函數，作積分：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

可以證明，關於幾乎所有的 ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )} $，上述積分是存在的。這樣，隨着 ${\displaystyle x}$ 的不同取值，這個積分就定義了一個新函數$ {\displaystyle h(x)}$ ，稱爲函數 ${\displaystyle f}$ 與 ${\displaystyle g}$的卷積，記爲 ${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)}$。

我們提取下重點公式寫在下面，記爲公式1：

${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{1}$

以上公式1最令人迷惑也是最需要注意的部分在於，在等式的左邊，自變量是$x$，然而等式的右邊自變量卻變成了$\tau$，更令人疑惑的是——右邊自變量不是$x$是$\tau$也就算了,竟然還出現了一個$x$。

那麼問題來了，$x$和$\tau$，到底哪個在變？還是兩個都在變？如果是都在變，那到底是怎麼個變法？

這些問題還是需要慢慢道來。我們先看一個卷積稍微通俗一點的解釋。

卷積

（1）即是通過兩個函數$f$和$g$生成第三個函數的一種數學算子。

（2）表徵函數f與經過翻轉和平移的g的乘積函數所圍成的的曲邊梯形的面積。

上面兩句話都非常重要，我們從第二句話開始看，第二句話中包含了以下四個重點信息：

• 翻轉
• 平移
• 乘積
• 積分（函數圍成的面積不就是積分麼？）

我們一個一個來看。先看右邊，我們不妨先令$x=x_0$， 也就是$x$不變而$\tau$變的情況。於是公式1就變成了公式2：

${\displaystyle h(x_0)=(f*g)(x_0)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x_0-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{2}$

1. 翻轉

先看翻轉，怎麼翻轉一個函數呢，想一下最簡單的$f(\tau)=\tau$，不難發現，$f(\tau)$翻轉之後即爲$f(-\tau)$。我用Python畫出了這倆函數的圖像，看起來更爲直觀。

2. 平移

然後看一下一個函數如何平移，仍然以$f(\tau)=\tau$爲例，回一下我們中學學過的數學知識，也許還能記起來，$f(x_0-\tau)$就是由$f(-\tau)$向右平移$x_0$得到的。我們仍然以圖說話，用Python作圖如下，$x_0$分別取值爲$20,40,60,80$。

3. 乘積

現在我們只看公式的右邊部分：

KaTeX parse error: \tag works only in display equations

現在我們可以知道$g(x_0-\tau)$就是$g(\tau)$翻轉之後又向右平移了$x_0$個單位。這時候需要考慮另一個函數$f(\tau)$了。這裏 我們繼續舉個例子，不妨令$f(\tau)=sin(\frac{\tau}{10})$。

我們繼續用Python畫出$f(\tau )g(x_0-\tau )$如下圖所示：

4. 積分

現在是較爲完整的公式3的樣子了，這裏爲了能夠更好地表達，我們把區間從$(-\infty ,\infty )$改爲$(-50,50)$，即畫出

KaTeX parse error: \tag works only in display equations

注意了，在上面的所有過程中，$x$一直是不變的，變的是$\tau$。即我們上面一直是在做的是公式2右邊的計算，公式2如下：

${\displaystyle h(x_0)=(f*g)(x_0)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x_0-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{2}$

不論$\tau$怎麼變化，最後一旦積分，等式右邊就成了一個確定的數字，一個常量。一個$x$對應一個$y$嘛。此時我們可以繼續看公式左邊了，我們直接看公式1：

${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{1}$

左邊換下位置我們也許會更好理解，即${\displaystyle (f*g)(x) = h(x)}$。也即之前提到的一句話：卷積即是通過兩個函數$f$和$g$生成第三個函數的一種數學算子。

總結一下，卷積計算過程可以分解爲四步：翻轉、平移、乘積、積分。

卷積爲什麼叫“卷積”？

1. 卷積之【卷】

那麼問題來了？卷積爲什麼要叫“卷積”呢？換言之，卷積之“卷”和卷積之“積”分別是什麼含義？

這裏想像一下如果我們要捲起一張A4紙，需要怎麼做？

（1）首先我們需要提起對着自己一條邊，向上翻轉使之對着自己身體前方——翻轉！

（2）然後繼續向下打個圈之後，就可以向前推了——平移！

看到沒？翻轉！平移！

你肯定還記得上面說的卷積計算的四個過程：翻轉、平移、乘積、積分。卷積之“卷”，你明白了嗎？

本文完

---

什麼？還不能走？把畫圖的源碼交出來？

# coding:utf-8  
""" 
Author:  CVPy-冰不語
Date:    2019/11/26
"""  
  
import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  


# 定義函數f(x)
def f(x):
    """$f\ (\\tau)$"""
    return x


# 定義函數g(x)
def g(x):
    """$f(x)=sin(x)$"""
    return np.sin(x/10)


# 設置座標系
def set_ax(ax):
    ax.spines['top'].set_color('none')
    ax.spines['right'].set_color('none')
    ax.spines['bottom'].set_color('deepskyblue')
    ax.spines['left'].set_color('deepskyblue')

    ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
    ax.yaxis.set_ticks_position('left')
    ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

    ax.set_xticks(np.arange(-100,101, 50))
    # ax.set_yticks(np.arange(-100,101, 50))

    return ax


if __name__ == "__main__":
    # x的取值範圍
    x = np.arange(-100, 100, 0.1)

    # ---------第一幅圖：f(x)和f(-x)----------
    fig = plt.figure(figsize=(6, 6))

    # 左邊畫f(x)
    ax1 = fig.add_subplot(121)
    ax1 = set_ax(ax1)
    ax1.plot(x, f(x), 'orange', label=f.__doc__)
    plt.legend(loc="upper left", bbox_to_anchor=[0, 1],
               ncol=1, fancybox=True)

    # 右邊畫f(-x)
    ax2 = fig.add_subplot(122)
    ax2 = set_ax(ax2)
    plt.plot(x, f(-x), 'orange', label="$f\ (-\\tau)$")
    plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1],
               ncol=1, fancybox=True)
    plt.show()

    # ---------第二幅圖：f(t-x)----------
    fig2 = plt.figure(figsize=(6, 6))
    ax3 = fig2.add_subplot(111)

    ax3 = set_ax(ax3)
    ax3.set_xticks(np.arange(-100, 101, 20))
    ax3.set_yticks(np.arange(-100, 181, 20))

    for t in [20, 40, 60, 80]:
        plt.plot(x, f(t-x), label="$f\ (x_0 - \\tau) \ \ x_0={0}$".format(t))
    plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)

    plt.show()

    # ---------第三幅圖：g(x) * f(t-x)----------
    t = 80


    def f_mul_g(x, t):
        """$f(\\tau-x)*g(\\tau)$"""
        return f(t-x)*g(x)

    fig3, ax4 = plt.subplots()

    ax4 = set_ax(ax4)
    ax4.set_xticks(np.arange(-100,101, 20))
    # ax4.set_yticks(np.arange(-100,181, 20))

    plt.plot(x, f_mul_g(x, t), label=f_mul_g.__doc__)
    plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)

    plt.show()

    # ---------第四幅圖：g(x) * f(t-x)的積分----------
    import matplotlib.patches as mPatches


    def int_fg(x, t, ax5):
        ax5 = set_ax(ax5)

        plt.plot(x,f_mul_g(x, t), 'orange', label="$f\ (\\tau)*g(x_0-\\tau) \ \  x_0={0}$".format(t))
        plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1],
                   ncol=1, fancybox=True)

        a = -50
        b = 50
        ix = np.linspace(a,b)
        iy = f_mul_g(ix,t)

        verts = [(a,0)] + list(zip(ix, iy)) + [(b,0)]
        poly = mPatches.Polygon(verts,color='deepskyblue')
        ax5.add_patch(poly)
        # plt.plot(x,g(x),label=g.__doc__)

        plt.text(30, 50, '$\int_a^b f\ (\\tau)*g(x_0-\\tau) \ \  x_0={0}$'.format(t), style='oblique',
                 bbox={'facecolor': 'orange', 'alpha': 0.5, 'pad': 5}, fontsize=15)

    fig4, ax5 = plt.subplots()
    int_fg(x, t, ax5)
    plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)

    plt.ion()

    # for i in range(100):

    #     y = np.random.random()

    #     plt.autoscale()

    #     plt.scatter(i, y)

    #     plt.pause(0.01)

    fig4, ax5 = plt.subplots()
    tn = np.arange(-100,100,5)
    for t in tn:
        plt.cla()
        plt.grid(True)
        plt.autoscale()
        int_fg(x, t, ax5)
        plt.pause(0.01)

        plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)

    plt.show()