gym102028 problem E Resistors in Parallel （大數）

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題意：

給出一個n，在n裏面的ri如上圖定義，求找出一個ri，ri的所有因子分之一的和最大。輸出的是和的倒數。

思路：

看到這道題就打了下表，發現280以內的素數乘積就可以超過 10¹⁰⁰ 了，素數只能出現一次，仔細想想就會發現每次都取從最小的開始連續的素數，這樣才能使得答案的倒數最大。

如果不取從最小的開始且連續的素數的話，質因子變大了，質因子的倒數是變小的，而且因子的數量也變少了。

預處理素數（比較少，根號的隨便上）
預處理答案：
記 $\frac{x}{y}$爲到上一個素數的答案，x爲分子，y爲分母。現在要加入素數p，先取倒數$\frac{y}{x}$，總的答案的倒數就變成了$\frac{y}{x}+\frac{y}{x*p}$，通分一下就是$\frac{y*(p+1)}{x*p}$，最後取到倒數就是答案了$\frac{x}{y}*\frac{p}{p+1}$，這樣就可以線性推出來了。

寫python的時候忘記整數除法要用//，用/會變成float，然後精度就沒了。

參考代碼：

python3：

import math
 
 
def judge(x):
    for i in range(2, int(math.sqrt(x)+1)):
        if x % i == 0:
            return False
    return True
 
 
def main():
    prime = []
    for i in range(2, 300):
        if judge(i):
            prime.append(i)
    ans = []
    ans.append([1, 1])
    pre = [1, 1]
    for i in prime:
        x = pre[0]
        y = pre[1]
 
        dx = y * (i + 1)
        dy = x * i
 
        gcd = math.gcd(int(dx), int(dy))
        pre = [dy//gcd, dx//gcd]
        ans.append(pre)
 
    t = int(input())
    for ca in range(0, t):
        x = int(input())
        pos = -1
        tp = 1
        while tp * prime[pos+1] <= x:
            tp = tp * prime[pos + 1]
            pos = pos + 1
        print("%d/%d" % (int(ans[pos+1][0]), int(ans[pos+1][1])))
 
 
if __name__ == '__main__':
    main()

java:

import java.lang.reflect.Array;
import java.math.BigInteger;
import java.math.*;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
 
public class Main {

    public static Boolean judge(int x){
        for(int i=2;i<=Math.sqrt(x);i++){
            if (x % i == 0)return false;
        }
        return true;
    }
 
    public static int [] getprime(){
        int [] ret = new int[500];
        int pos=0;
        for(int i=2;i<=500;i++){
            if (judge(i))ret[++pos]=i;
        }
        ret[0]=pos;
        return ret;
    }
 
    public static BigInteger _gcd(BigInteger a, BigInteger b){
        return b.compareTo(BigInteger.ZERO)==0?a:_gcd(b,a.mod(b));
    }
 
    public static void main(String [] args){
        int [] prime = getprime();
 
        BigInteger [][] ans = new BigInteger[200][2];
        ans[0][0] = ans[0][1] = BigInteger.ONE;
        int pre=0;
        for(int i=1; i<=prime[0]; i++){
            BigInteger x=ans[pre][0];
            BigInteger y=ans[pre][1];
            BigInteger dx=y.multiply(new BigInteger(String.format("%d",prime[i] + 1)));
            BigInteger dy=x.multiply(new BigInteger(String.format("%d",prime[i])));
            BigInteger gcd = _gcd(dx, dy);
            dx = dx.divide(gcd);
            dy = dy.divide(gcd);
 
            ans[++pre][0]=dy;
            ans[pre][1]=dx;
        }
 
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int t = cin.nextInt();
        for(int ca=1;ca<=t;ca++){
            BigInteger x = cin.nextBigInteger();
            int pos = 0;
            BigInteger tp = BigInteger.ONE;
            while(true){
                tp = tp.multiply(new BigInteger(String.format("%d",prime[pos+1])));
                if (tp.compareTo(x) > 0)break;
                pos = pos + 1;
            }
            System.out.println(ans[pos][0] + "/" + ans[pos][1]);
        }
    }
}
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