杜教篩模板題

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一般求法：

求$\sum_{i=1}^{n}{f(x)}$

找出兩個積性函數$h(x)$和$g(x)$，滿足$g(x)=h(x)*f(x)$，（*表示卷積）

然後有$\sum_{i=1}^{n}g(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}h(d)\cdot f(\frac{n}{d})$

$\sum_{i=1}^{n}g(x)=\sum_{d=1}^{n}h(d)\cdot\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f({j})$

記$s(x)=\sum_{i=1}^{x}f(x)$

$\sum_{i=1}^{n}g(x)=\sum_{d=1}^{n}h(d)\cdot s(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor))$

右邊提取第一項$h(1)*s(1)$，把剩餘的移到左邊等式變爲：

$h(1)*s(n) =\sum_{i=1}^{n}g(x) -\sum_{d=2}^{n}h(d)\cdot s(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor))$

通常$\sum_{i=1}^{n}g(x)$和$h(1)$很容易快速得到，所以只要解決$\sum_{d=2}^{n}h(d)\cdot s(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor))$這部分就可以得到$s(n)$
這部分可以使用分塊快速得到

一般是先對可打表的範圍預處理，然後求解的時候如果n較小，直接輸出答案即可；n較大時採用遞歸求解的方式來解決。需要保存那些不在打表範圍的結果，也就是記憶化。

模板題中：
求$\sum_{i=1}^{n}\phi(i)$
容易想到$\phi*I=id$，其中$I(x)=1,id(x)=x$

求$\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$
容易想到$\mu*I=e$，其中$I(x)=1,e(x)=(x=1?1:0)$

後面照着過程一步一步下來很容易可以解出

常用數論函數：

函數
$d(n)=\sum_{d\|n}1$	因數個數
$\sigma(n)=\sum_{d\|n}d$	因數和
$e(n)=n==1?1:0$	幺元函數
$I(n)=1$	恆等函數
$\phi(n)$	歐拉函數
$\mu(n)$	莫比烏斯函數
$id(n)=n$	單位函數
$idk(n)=n^{k}$	冪函數

$\mu * 1=\epsilon$
$\phi * 1=Id$
$\phi = Id * \mu$
$d=1∗1$
$1 = \mu * d$

參考：

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e6+5;
const int M=5e6;
int mu[N];
ll phi[N];
bool vis[N];
int prime[N],tot;

void work_pre(int maxn)
{
    phi[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-1;phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i],phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=maxn;i++){
        phi[i]+=phi[i-1];
        mu[i]+=mu[i-1];
    }
}


unordered_map<int,int>mp1;
unordered_map<int,ll>mp2;

int djs_mu(int n){
    if(n<=M){
        return mu[n];
    }
    if(mp1[n]){
        return mp1[n];
    }
    int ret=1;
    for(int l=2,r;n>=l;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        ret-=(r-l+1)*djs_mu(n/l);
    }
    return mp1[n]=ret;
}

ll djs_phi(int n){
    if(n<=M){
        return phi[n];
    }
    if(mp2[n]){
        return mp2[n];
    }
    ll ret=1ll*n*(n+1)/2;
    for(int l=2,r;n>=l;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        ret-=1ll*(r-l+1)*djs_phi(n/l);
    }
    return mp2[n]=ret;
}


int main(){
    work_pre(M);
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld %d\n",djs_phi(n),djs_mu(n));
    }
    return 0;
}