爲了準備週四的期中考試，所以花時間複習前面知識的同時，也一併寫一篇，就當做複習筆記了。
這一部分主要介紹了一些基本的定義和數學的證明方法。
首先，定義了集合的定義：集合是一些無序元素的集合，具有確定性、互異性和無序性。然後介紹了一部分集合的一些基本概念，如集合的基數，如|S|表示集合S的基數，即元素的個數；兩個集合相等S=T是指S中每一個元素都在T中，T中的每個元素也都在S中；子集（可以包含空集）、真子集（不包含空集）、嚴格子集（不包含自身相等的情況），以及的集合的並、交、差、補集、笛卡爾積、冪集。
接着介紹了函數的定義，定義域Dom(f)， 值域Ran(f)，映射和操作，單射函數（一一映射），滿射（Ran(f) = B）,雙射（既是單射又是滿射），反函數（Dom(g) = Ran(f), g(f(x)) = x）,f◦g表示domain {x| x ∈ Dom(g) ∧g(x) ∈Dom(f)},valuef (g(x)). 另外，就是注意多項式的定義，一個多項式是由變量和常數構成的有限長度的表達式，只能使用加，減，乘和非負的整數冪指數（用於判別一個表達式是否是多項式）。
關係的定義，分爲等價關係和偏序。如果A是一個集合，一個性質M(x1,…xn)對於An的n行記錄成立，但是不對於其餘n行記錄全部成立的性質稱爲A上的一個n元關係或者A的預測。如，性質x<y. 2 < 5,6 <4. 這裏，A是整數集合。A上的一個二元關係R稱爲等價關係如果滿足自反性、對稱性和傳遞性；A上的一個二元關係R稱爲偏序如果滿足反自反省和傳遞性。如：
下面是該部分的重點——證明。
1. Proof by Construction 通過構造來證明
這是最直觀的一種證明方式，比如證明一個式子是奇數，就將其構造成2k+1，偶數就構造成2k，帶入式子中，一步步往結論上面靠。
2. Proof by Contrapositive 通過逆否定理來證明
逆否定理可以分爲通過推出矛盾和舉反例。如已知p成立，要證明q成立則可以轉化爲￢q 而推出 ￢p。該定理的使用場景是￢q比較好列出的情況。通過推出矛盾，則是如果證明p命題爲true，則轉化爲證明￢p是false。即假設原命題不成立，推出矛盾，則證明原假設不正確，原命題是成立的。
3. Proof by cases通過案例來證明
案例證明則是將原命題的條件分爲幾個子集，證明對每一個子集都成立，則推出原命題成立。
4. Proof by Mathematical Induction 通過數學歸納法來證明
數學歸納法主要是分爲三個步驟(考試的時候要寫清楚每一個步驟)，
Basic step：這一步主要是對前面比較小的幾個數帶入式子推出成立，即P(n0)成立；
Induction Hypothesis: 這一步則是假設原式對於n = k成立，即P(k)成立；
Proof of Induction Step: 這一步則是證明當n = k+1時，式子也成立。
這部分還講了數學歸納法的兩個變形，第一種是Minimal counterexample Principle, 其實就是歸納證明和Proof by contradiction的一個組合。爲了證明一個命題，假設原命題是不成立的，那麼至少存在一個反例。考慮到有一些規模會比較大的數，因此考慮反例的時候可以考慮存在一個反例C是最小的。然後，找出矛盾點在可以找一個比C還要小的反例使得最小假設不成立。這種方法稱爲無窮遞減法。比如課上的例子：
假設k是使得式子
第二種變形是The strong principle of Mathematical Induction. 與傳統的數學歸納法的不同點在於，第二步假設的時候，不是證明P(k)成立，而是證明對於k>=n0, 對於每一個n滿足n0<=n <=k，都有P(n)成立，進而推導P(k+1)成立。
舉個栗子：證明對於任意的n∈ N，n>=2, 都有質數因子。
證明：
定義P(n)爲命題：n要麼是質數，要麼是兩個或者多個質數的乘積。接下來證明對於任意的n>=2，P(n)成立。
1. Basic step. P(2)成立，因爲2是質數
2. Induction hypothesis. 假設對於k>=2, 2 <= k <= n, P(n)都成立(Strong principle)
3. Proof of induction step. 證明P(k+1)成立。
如果P(k+1)是質數，命題顯然成立；
如果P(k+1)不是一個質數，那麼根據質數的定義，k+1 = r * s, 其中r和s都是大於1小於k+1的正整數。即有 2 <=r <= k, 2 <=s <= k, 這樣根據歸納假設，r和s要麼是質數，要麼是兩個或者多個質數的乘積。那麼他們的乘積k+1也就是兩個或者多個質數的乘積。證得P(k+1)成立。