首先必須強調的是，我是個算法渣，多少年了~~還是渣/(ㄒoㄒ)/~~
這學期在上英文算法課，機緣巧合選了英文，覺得老師講得還不錯，所以沒換到中文。想要通過這樣總結一下加深算法理解，考試時也方便複習。
第一次課是對學習算法課需要的數學基礎知識的複習，如集合以及集合的操作，函數，關係等，和一些數學證明方法的介紹，包括通過構造證明，通過對照證明（舉反例，找矛盾），通過案例證明（可以理解爲分情況討論證明同一個結論對任一情況都成立），通過數學歸納法證明（包含最小反例法則，數學歸納的強法則）。
第二次課是接觸算法必須的算法複雜度分析，包括時間和空間上的複雜度分析。通過列舉了幾個算法實際案例進行的分析，包括兩種搜索方法（線性搜索，二分搜索），一個合併算法（將兩個已經排好序的列表合併）和三種排序算法（選擇排序，插入排序和合並排序）。
第一個詳細講的算法是分治算法，該算法主要用於解決這樣條件下的問題：
（1） 可以被分解成若干個相同的更小的子問題，即該問題具有最優子結構性質；分解到一定的程度就會很容易解決；
（2） 可以循環解決這些子問題；
（3） 最後可以合適的將子問題的解合併爲該問題的解；
（4） 該問題分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子問題
實際問題就是逐一地解決這三個步驟：在將問題分解成子問題；在遞歸的最後一步，當問題變得足夠小的時候，可以被直接解決了；以及將子問題的答案合併。
使用分治算法的經典例子如下：
（一） 乘法運算
（二） Merge排序
（三） 求中位數
（四） 矩陣的乘法
先就乘法操作進行一下推導。
（一） 乘法操作
該算法是根據高斯的一個發現，將兩個複數的乘法
原本的四個乘法操作現在將其轉化爲三個，
簡單看來，認爲減少的複雜度並不多。但是當應用到迭代中，會發現可以大大減小複雜度。
對這個的證明可以將其從複數一般化到整型的乘法。假設x和y是兩個n位的整數，爲了方便假設n都是2的冪。由以上條件，我們可以將x和y轉化爲如下形式：
這樣一來，x和y的乘積可以表示爲：
通過轉化後的式子來計算xy，加法操作和這裏的2的冪都是線性的複雜度，因爲對2求冪就是一個左移的位操作。現在，乘法操作就變成了對四個n/2位的數進行乘法操作的迭代（子問題是原來大小的一半），然後在O(n)時間內將之前的結果進行整合。這樣，使用master theorem來計算整個過程的複雜度的話就是
計算得到算法的複雜度爲O(n^2).
（備註：master theorem如下：
爲了提升算法的運行效率，只用之前高斯提到的方法。原來的四個乘法操作可以轉化爲三個，
即
這樣的話，使用master theorem來計算整個過程的複雜度的話就是
，在每一次迭代中，常量從4變爲3，計算出來複雜度爲
該問題的迭代過程可以通過一棵樹來描述。
在子問題的每一次迭代中，問題的規模就減小一半。在
在樹的最高層，k=0，則複雜度爲O(n)。在最底層，k=
使用之前的思路，則這棵迭代數的分支因子爲4，則計算
因此，在分治算法中，子問題的數目可以被解釋爲迭代樹的分支因子（master theorem中的a），每一次問題規模的變化係數爲b（減小一半就是1/2），最後將子問題的所有解合併起來的複雜度中n的冪指數即爲d。
例如，二分查找中，在一個已經排好序的序列z[0,1,…,n-1]中找到數k，首先將k與z[2/n]進行比較，根據結果在決定是在前半部分繼續比較還是後半部分繼續比較。這樣得到的迭代公式爲
最後一部分講了關於Sorting Network的畫法，上課的時候聽得比較模糊。下來整理一下之後，過程如下：
1）首先創建一個Bitonic Sorter
先說Bitonic sequence，中文翻譯爲雙調序列，也就是單調遞增和單調遞減的的序列，也可以循環轉換先單調遞增再單調遞減。
例如：
Half-cleaner是長度爲1的比較網絡，是第i個輸入與第i+n/2個輸入比較（假設n是偶數，i = 1,2,...n/2）
如下圖：
這樣得到的雙調序列上半部分是更小的值，下半部分是更大的值。上下兩部分都是雙調的。
然後就可以畫Bitonic Sorter的結構：
下面右圖爲n = 8時的Bitonic Sorter
2）第二步構造一個Merger
Merger與Half-cleaner是有區別的，Merger[n]是將兩個單調的輸入序列
於是構建的Merger如下：
3）最後一步就是構造Sorter
下面給出n=8和n=16時的sorting network：
n = 8:
n = 16:
