LeetCode刷題——70. 爬樓梯

題目

假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。

每次你可以爬 1 或 2 個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

注意：給定 n 是一個正整數。

示例 1：

輸入： 2
輸出： 2
解釋： 有兩種方法可以爬到樓頂。
1.  1 階 + 1 階
2.  2 階

示例 2：

輸入： 3
輸出： 3
解釋： 有三種方法可以爬到樓頂。
1.  1 階 + 1 階 + 1 階
2.  1 階 + 2 階
3.  2 階 + 1 階

來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs

思路

對於這樣一個問題，我們先來思考下能否遞歸的解決，它內部是否有遞歸的結構。

我們自頂向下的思考問題，直接考慮第$n$階臺階，並且假設它下面的$n-1$階,$n-2$階等子問題都已經解決了。

如果我們要想爬上$n$階臺階，因爲一次要麼爬$1$階，要麼爬$2$階，所以爬$n$階臺階有兩種可能。

從$n-1$階再爬$1$階或者從$n-2$階再爬$2$階。

不難看出這是一個遞歸問題，我們把問題轉換爲爬$n-1$階有多少種方法和爬$n-2$階有多少種方法。然後把這兩個問題的答案相加就好了。這樣把一個大的問題轉換爲兩個小問題。

用同樣的思路可以求出爬$n-1$階和爬$n-2$階的方法數。從上面這個遞歸樹可以看出，存在很多重複子問題。

下面我們先寫出按照這種思路解決問題的遞歸算法。

代碼

遞歸

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        # 遞歸的終止條件
        if n == 1:
            return 1
        if n == 2:
            return 2
        return self.climbStairs(n-1) + self.climbStairs(n-2)

雖然思路是對的，但是遞歸的方式是比較低效的，這裏導致了計算超時。參閱LeetCode刷題之動態規劃思想，我們可以將其改成記憶化搜索的方式，解決重疊子問題。

因爲爬2階臺階有2種方法，和斐波那契數列很像。這裏的遞歸終止條件還可以寫成

if n == 0:
    return 1
if n == 1:
   return 1

這樣這個問題就是斐波那契數列的應用。

記憶化搜索

dp = {}

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        # 遞歸的終止條件
        if n == 0:
            return 1
        if n == 1:
            return 1
        if n not in dp: # 如果沒有計算過再去計算
            dp[n] =  self.climbStairs(n-1) + self.climbStairs(n-2)
        return dp[n]

最後改成動態規劃也就很簡單了。

動態規劃

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n == 1:
            return 1
        dp = [1] * (n+1) #dp[0] = 1   ,    dp[1] = 1   ,dp[2]以後的通過下面的式子計算
        
        for i in range(2,n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[n]

動態規劃不需要遞歸求解，是一種自底向上的求解思想。