LeetCode刷题——除数博弈

题目

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
• 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
  如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/divisor-game

思路

这个题可以用归纳法和动态规划法来接。先看下动态规划法。

动态规划

将所有的小于等于 N (包含N)的解都找出来，可以基于前面的解来推后面的。

当dp[i]==False，说明爱丽丝会输，反之说明会赢。要想爱丽丝赢，就要找到一个约数，使得爱丽丝取时为True，并且刷新后的数为False。

class Solution(object):
    def divisorGame(self, N):
        """
        :type N: int
        :rtype: bool
        """
        dp = {} #True代表爱丽丝赢，False代表爱丽丝输
        dp[2] = True 
        dp[1] = False
        import math
        for i in range(3,N+1):#需要包含N的情况
            dp[i] = False
            for j in range(1,int(math.sqrt(i))): #限定j的取值范围
                if i % j == 0 and dp[i - j] == False: # 如果 选出任一j,满足 i % j == 0,且下一个数字为False
                    dp[i] = True #找得到这么一个j，说明i是可以获胜的
                    break 
        return dp[N]

归纳法

我们可以多举几个例子，然后找出规律：

1. 假设 N = 1，爱丽丝无解(选出的值x必须0 < x < N)，直接失败；
2. 假设 N = 2，爱丽丝可以选择 x = 1，鲍勃 N = 2 - 1 = 1，无解，爱丽丝获胜；
3. 假设 N = 3，爱丽丝只可以选择x=1，鲍勃N = 3 - 1 = 2，参考上面N=2，此时鲍勃获胜
4. 假设 N = 4，爱丽丝可以选择 x = 1 使得鲍勃遇到 N = 3 的情况，参考上面，则爱丽丝获胜；

大概可以得到一个规律：当N为偶数时，爱丽丝能获胜，否则失败。

class Solution(object):
    def divisorGame(self,int N):
        return N % 2 == 0