HDU5462 Manors【半平面交】

題目描述：

HDU5462 Manors

$n$個人，每個人$m$個旗子座標爲 $x_{i,j},y_{i,j}$，$f_i(x,y)=\sum_{j=1}^m(x-x_{i,j})^2+(y-y_{i,j})^2$

點$(x,y)$被$f_i(x,y)$最小的 $i$ 佔領，$x,y$的範圍爲$[0,4095]$，求每個人的佔領面積。

$n\le100$

題目分析：

記 $sx_i=\sum_{j=1}^mx_{i,j}$，$s_2x_i=\sum_{j=1}^mx_{i,j}^2$，$y$同理。

$f_i(x,y)\le f_j(x,y)\Longleftrightarrow s_2x_i-s_2x_j+s_2y_i-s_2y_j-2(sx_i-sx_j)x-2(sy_i-sy_j)y\le 0$

相當於對於滿足 $Ax+By+C\le 0$ 的 $x,y$ 有 $f_i(x,y)\le f_j(x,y)$。那麼 $i$ 的佔領面積相當於半平面交。

確定半平面交直線方向向量的方法：

在直線的法向量 $(A,B)$ 一邊的點一定滿足 $Ax'+By'+C>0$
（對於任意點$x,y$滿足$Ax+By+C=0$，有$A(x+A)+B(x+B)+C>0$）

如果令半平面交取左手邊（逆時針），那麼 $<0$ 對應的方向向量就是法向量逆時針轉 $90\degree$，即 $(-B,A)$

然後再解出一個滿足$Ax+By+C=0$的 $(x,y)$ 就可以確定這條直線了。

半平面交一次轉超過$180\degree$隨便舉反例，要在外面框個矩形，每次最多轉$90\degree$，最後少於3條線就無解。

舉幾個例子加深理解：

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 115
using namespace std;
const double eps = 1e-6;
int T,n,m;
double sx[maxn],sy[maxn],sx2[maxn],sy2[maxn];
int sgn(double x){return x>eps?1:x<-eps?-1:0;}
struct Pt{
	double x,y;
	Pt(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
	Pt operator + (const Pt &p)const{return Pt(x+p.x,y+p.y);}
	Pt operator - (const Pt &p)const{return Pt(x-p.x,y-p.y);}
	Pt operator * (const double &t)const{return Pt(x*t,y*t);}
	double operator * (const Pt &p)const{return x*p.y-y*p.x;}
}p[maxn];
struct Line{
	Pt p,v; double ang;
	Line(Pt p=0,Pt v=0):p(p),v(v),ang(atan2(v.y,v.x)){}
	bool operator < (const Line &L)const{return sgn(ang-L.ang)?ang<L.ang:v*(L.p-p)<=0;}
}L[maxn],q[maxn];
int cnt,l,r;
bool Onleft(Pt p,Line L){return L.v*(p-L.p)>0;}
Pt Inter(Line a,Line b){return a.p+a.v*((b.v*(a.p-b.p))/(a.v*b.v));}
double HalfPlane(){
	sort(L+1,L+1+cnt);
	q[l=r=1]=L[1];
	for(int i=2;i<=cnt;i++) if(sgn(L[i].ang-L[i-1].ang)){
		while(l<r&&!Onleft(p[r-1],L[i])) r--;
		while(l<r&&!Onleft(p[l],L[i])) l++;
		q[++r]=L[i],p[r-1]=Inter(q[r-1],q[r]);
	}
	while(l<r-1&&!Onleft(p[r-1],q[l])) r--;
	if(r-l<=1) return 0;
	p[r]=Inter(q[l],q[r]);
	double ans=0;
	for(int i=l;i<=r;i++) ans+=p[i]*p[i+1>r?l:i+1];
	return ans/2;
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	for(int t=1;t<=T;t++){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;i++) sx[i]=sy[i]=sx2[i]=sy2[i]=0;
		for(int i=1,x,y;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			sx[i]+=x,sy[i]+=y,sx2[i]+=x*x,sy2[i]+=y*y;
		}
		printf("Case #%d: ",t);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			L[cnt=1]=Line(Pt(0,0),Pt(1,0)),L[++cnt]=Line(Pt(4095,0),Pt(0,1));
			L[++cnt]=Line(Pt(4095,4095),Pt(-1,0)),L[++cnt]=Line(Pt(0,4095),Pt(0,-1));
			for(int j=1;j<=n;j++) if(i!=j){
				double A=-2*(sx[i]-sx[j]),B=-2*(sy[i]-sy[j]),C=sx2[i]-sx2[j]+sy2[i]-sy2[j];
				if(sgn(A)) L[++cnt]=Line(Pt(-C/A,0),Pt(-B,A));
				else L[++cnt]=Line(Pt(0,-C/B),Pt(-B,A));
			}
			printf("%d%c",(int)round(HalfPlane()),i==n?10:32);
		}
	}
}