经典力学（动力学）——动量守恒定律与能量守恒定律

质点和质点系的动量定理

力的累积效应$\begin{cases} \vec{F}(t)对t的累积 \to \vec{I},\Delta\vec{p} \\ \vec{F}对\vec{r}累积 \to W,\Delta E\end{cases} \Longrightarrow$$\begin{cases} 动量、冲量、动量定理、动量守恒定律 \\ 动能、功、动能定理、机械能守恒定律 \end{cases}$

冲量 质点的动量定理

冲量

动量（状态量）：$\vec{p}=m\vec{v}$$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt} \Rightarrow \vec{F}dt=d\vec{p}=d(m\vec{v})\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt=\vec{p}_2-\vec{p}_1=m\vec{v}_2-m\vec{v}_1$
冲量定义（过程量）：$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt$

质点的动量定理

微分形式：$\vec{F}dt=d\vec{p}=d(m\vec{v})$
积分形式：$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt=\vec{p}_2-\vec{p}_1=m\vec{v}_2-m\vec{v}_1$

$\red{动量定理}$：在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。
以上两种形式也可用分量表示，某方向收到冲量，该方向的动量就增加。

质点系的动量定理

对两质点分别用质点动量定理：
$\begin{cases}\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}_1+\vec{F}_{12})dt=m_1\vec{v}_1-m_1\vec{v}_{10}\\ \int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}_2+\vec{F}_{21})dt=m_2\vec{v}_2-m_2\vec{v}_{20} \end{cases}$
因为内力和$\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=0$,所以两式相加后：
$\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}_1+\vec{F}_2)dt=(m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2)-(m_1\vec{v}_{10}+m_2\vec{v}_{20})$
即：
$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}^{ex}dt=\sum_{i=1}^{n}m_i\vec{v}_i-\sum_{i=1}^{n}m_i\vec{v}_{i0}=\vec{p}-\vec{p}_0$
$\red{质点系动量定理：}$作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
注意：要区分内力和外力，内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量。

(1)$F$为恒力，$\vec{I}=\vec{F}\Delta t$

(2)$F$为变力，$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt= \overline {\vec{F}}(t_2-t_1)$($\red{平均冲力}$)
动量定理经常应用于碰撞问题

在$\Delta \vec{p}一定时，\Delta t越小， \overline {\vec{F}}越大$

动量守恒定律 动能定律

动量守恒定律

质点系动量定理：
$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i}^{}\vec{F}_i^{ex}=\sum_{i}^{}\vec{p}_i-\sum_{i}^{}\vec{p}_{i0}$若质点系所受合外力为0：
$\vec{F}^{ex}=\sum_{i}^{}\vec{F}_i^{ex}=0$则系统的$\blue{总动量}$不变————$\red{动量守恒定律}$

动能定理

力的空间累积效应：
$\red{做功：}$物体在力$\vec{F}$作用下移动$\Delta \vec{r} \Rightarrow$做功W
做功分为恒力下做功和变力下做功：
恒力作用下的功：

$W=Fcos\theta \cdot |\Delta \vec{t}|=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$
变力作用下的功：

$dW=\vec{F}\cdot\ d\vec{r}=Fcos\theta \cdot|d\vec{r}|=Fcos\theta \cdot ds$$\Rightarrow W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot\ d\vec{r}=\int_{A}^{B}Fcos\theta \cdot ds$
其中$\theta$为力与相对应位移的夹角。
(1)关于功的正负：$\begin{cases} 0^o<\theta <90^o ,dW>0 \\ 90^o<\theta <180^o ,dW<0 \\ \theta =90^o ,\vec{F} \perp \vec{r},dW=0 \end{cases}$
(2)做功的直观图示：

$W=\int_{s_1}^{s_2}Fcos\theta ds$
(3)功是一个过程量，与路径有关。
(4)合力的功，等于各分力的功的代数和。

功的单位（焦耳）	$1J=1N \cdot m$
平均功率	$\overline{P}=\frac{\Delta W}{\Delta t}$
瞬时功率	$P=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}=Fvcos\theta$
功率单位（瓦特）	$1W = 1 J.s^{-1} ,1kW=10^3W$

质点的动能定理

$W=\int \vec{F} \cdot d\vec{r}=\int F_t\cdot |d\vec{r}|=\int F_tds=\int m\frac{dv}{dt}ds=\int_{v_1}^{v_2}mvdv=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=E_{k2}-E_{k1}$
合外力对质点所做的功，等于质点动能的增量——$\red{质点动能定理}$
$\red{Tips:}$功是$\blue{过程量}$，动能是$\blue{状态量}$
功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同。