洛谷P2822組合數問題（組合數學 + 前綴和）

2020.6.16
這是noip某年提高組的一道題。非常不幸，這道題只拿了90pts, t了兩個點，後來加了快讀和快寫之後95pts，可能是因爲每次詢問大概是O(nm)的。所以2000就會t了。

這道題思路也非常清晰，2k的數據量數組開得下，可以用組合數遞推公式來獲得所有組合數模k的值。組合數遞推公式如下：

組合數遞推方程 ：f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]；

然後95pts的做法是用直接挨個查，遇到模k==0的情況對答案貢獻就加一，最後輸出。但這樣有個問題，就是組合數是二維的，每次要跑n * min（n,m）次，很容易超時。以上是本人一開始自己的做法，然而沒ac也沒卵用。

然後就看到了神仙的前綴和方法，代碼給出如下，大家細品一下區別，反正這個前綴和方法真的太巧妙了
95分代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define limit (2000 + 5)//防止溢出
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf 0x3f3f3f3f3f
#define lowbit(i) i&(-i)//一步兩步
#define EPS 1e-6
#define FASTIO  ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
#define ff(a) printf("%d\n",a );
#define pi(a,b) pair<a,b>
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b ; ++i)
#define per(i, a, b) for(int i = b ; i >= a ; --i)
#define mint(a,b,c) min(min(a,b), c)
#define MOD 998244353
#define FOPEN freopen("C:\\Users\\tiany\\CLionProjects\\acm_01\\data.txt", "rt", stdin)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll read(){
    ll sign = 1, x = 0;char s = getchar();
    while(s > '9' || s < '0' ){if(s == '-')sign = -1;s = getchar();}
    while(s >= '0' && s <= '9'){x = x * 10 + s - '0';s = getchar();}
    return x * sign;
}//快讀
void write(ll x){
    if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
    if(x / 10) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

int n,m,k;
ll f[limit][limit];//i代表n，j代表m
//組合數遞推方程 f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]；
void get_combinatoric(){
    rep(i ,00, 2000){
        f[i][i] = f[i][0] = 1;//不選就只有一種情況
    }//初始狀態
    rep(i , 1, 2000){
        rep(j , 1, i){
            f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]) % k;
        }
    }
}
int main() {
#ifdef LOCAL
    FOPEN;
#endif
    int t = read();
    k = read();
    get_combinatoric();//取組合數
    while (t--){
        n = read(), m = read();
        int ans = 0;
        rep(i ,0, n){
            rep(j , 0, min(i, m)){
                if(!f[i][j]) ++ans;
            }
        }
        write(ans),putchar('\n');
    }
    return 0;
}

AC代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define limit (2000 + 5)//防止溢出
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf 0x3f3f3f3f3f
#define lowbit(i) i&(-i)//一步兩步
#define EPS 1e-6
#define FASTIO  ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
#define ff(a) printf("%d\n",a );
#define pi(a,b) pair<a,b>
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b ; ++i)
#define per(i, a, b) for(int i = b ; i >= a ; --i)
#define mint(a,b,c) min(min(a,b), c)
#define MOD 998244353
#define FOPEN freopen("C:\\Users\\tiany\\CLionProjects\\acm_01\\data.txt", "rt", stdin)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll read(){
    ll sign = 1, x = 0;char s = getchar();
    while(s > '9' || s < '0' ){if(s == '-')sign = -1;s = getchar();}
    while(s >= '0' && s <= '9'){x = x * 10 + s - '0';s = getchar();}
    return x * sign;
}//快讀
void write(ll x){
    if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
    if(x / 10) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

int n,m,k;
ll f[limit][limit];//i代表n，j代表m
ll ans[limit][limit];
//組合數遞推方程 f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]；
void get_combinatoric(){
    rep(i ,00, 2000){
        f[i][i] = f[i][0] = 1;//不選就只有一種情況
    }//初始狀態
    rep(i , 1, 2000){
        rep(j , 1, i){
            f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]) % k;
            ans[i][j] = ans[i-1][j] + ans[i][j-1] - ans[i-1][j-1];
            if(!f[i][j])ans[i][j]++;
        }
        ans[i][i+1] = ans[i][i];
    }
}
int main() {
#ifdef LOCAL
    FOPEN;
#endif
    int t = read();
    k = read();
    get_combinatoric();//取組合數
    while (t--){
        n = read(), m = read();
        ff(ans[n][m > n ? n : m])
    }
    return 0;
}