CF230B T-primes 題解

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簡要題意：

判斷一個數是否只有 $3$ 個因數。

首先，如果一個數有奇數個因數，那麼這個數是完全平方數。

道理很簡單：因數是成對的，那麼必然存在 $k^2 = n$，此時 $k$ 就是單個的，$n$ 就是完全平方數。

但是，你會發現，並不是所有的完全平方數都一定有三個因數。

比方說： $36$.

$1 \space 2 \space 3 \space 4 \space6 \space 9 \space 12 \space 18 \space 36$

一看這麼多因數就不是3個

顯然，我們發現：

若 $n = k ^ 2$，用 $f_n$ 表示 $n$ 的因數個數，則：

$f_n = 2 \times f_k-1$

原因也很簡單：因數是成對出現的，減去重複的 $k$ 一個。

那麼，此時；

$2 \times f_k - 1 = 3$

$f_k = 2$

也就是 $f_k$ 是質數！

我們發現， $n \leq 10^{12}$，則 $k \leq \sqrt{n} \leq 10^6$.

顯然，我們可以歐拉篩出 $\leq 10^6$ 的質數表，然後 $O(1)$ 判斷。

綜上：

$n$ 不是完全平方數，或者 $\sqrt{n}$ 不是質數時，答案爲 $\texttt{NO}$.

否則答案爲 $\texttt{YES}$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e6+1;

inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

bool h[N];
int prime[N],f=0;

inline void Euler() {
	h[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++) {
		if(!h[i]) prime[++f]=i;
		for(int j=1;j<=f && i*prime[j]<N;j++) {
			h[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
} //歐拉篩模板

int main(){
	int T=read(); Euler(); while(T--) {
		ll n=read();
		if(n==1) puts("NO");
		else {
			ll q=sqrt(n);
			if(q*q-n || h[q]) puts("NO");
			else puts("YES");
		}
	}
	return 0;
}

洛谷上竟然標藍題，我諤諤