【BOI2012】Mobile(mobile)

Description

著名的手機網絡運營商Totalphone 修建了若干基站收發臺，以用於把信號網絡覆蓋一條新建的高速公路。因爲Totalphone 的程序員總是很馬虎的，所以，基站的傳功功率不能獨立設置，只能將所有新基站的功率設置爲一個相同的值。爲了讓能源的消耗盡量少，公司希望知道公路中任意點到最近基站距離的最大值。

Solution

首先我們可以考慮對答案有貢獻的點會滿足什麼條件？假設現在有兩個點，把它們連線，做這條連線的中線，倘若這條中線交在x軸上的某一點D，很明顯在D點的左邊到橫座標更小的點的距離更近，右邊的到橫座標更大的點更近（附圖）。

擴展到三個點，若是第一個點與第二個點的中垂線和第二個點與第三個點的中垂線相交在x軸上方，那第二個點是永遠不會對答案有貢獻（附圖）。

對於這些無用的點，顯然可以用一個單調隊列把它們去掉，剩下的點都是有可能作爲最優答案的，剩下的點直接計算取最優質就可以了。還應該要把中垂線在x軸交點超過公路長度範圍的點去掉，因爲它們是不會有貢獻的，預處理出x座標相同時，只保留y軸絕對值較小的點就可以了，ans初值應是（0，0）和（len，0）點的貢獻。

Code

#include<algorithm> 
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define sqr(x) pow(x,2)
typedef double db;
const int maxn=1e6+5;
int n,m,st,x,y,i,d[maxn][2],l[maxn],r[maxn],sum,a[maxn][2],zf,tot;
db z[maxn],ans,dis,dis1,dis2;
bool bz;
char ch;
int read(){
    ch=getchar();tot=0;zf=1;
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') zf=-1;
        ch=getchar();
    }
    while('0'<=ch&&ch<='9') tot=tot*10+zf*(ch-'0'),ch=getchar();
    return tot;
}
db calc(db x,db y,db xx,db yy){
    return (sqr(x)+sqr(y)-sqr(xx)-sqr(yy))/(2*(x-xx));
}
int main(){
    freopen("mobile.in","r",stdin);
    freopen("mobile.out","w",stdout);
    n=read();m=read();
    sum=0;
    fo(i,1,n){
        x=read();y=read();
        if(sum==0||x!=a[sum][0]) sum++,a[sum][0]=x,a[sum][1]=y;
        else if(x==a[sum][0]&&abs(a[sum][1])>abs(y))
             a[sum][0]=x,a[sum][1]=y;
    }
    n=sum;sum=0;st=1;
    dis1=dis2=1e20;
    fo(i,1,n){
        dis1=min(dis1,sqr(a[i][0])+sqr(a[i][1]));
        dis2=min(dis2,sqr(a[i][0]-m)+sqr(a[i][1]));
    }
    ans=max(dis1,dis2);
    fo(i,1,n){
        sum++,d[sum][0]=a[i][0],d[sum][1]=a[i][1];
        l[sum]=r[sum-1],r[sum]=i;
        if(sum>=2) z[sum]=calc(d[sum-1][0],d[sum-1][1],d[sum][0],d[sum][1]);
        while(sum-st+1>2){
            bz=false;
            if(z[sum-1]>=z[sum]){
                d[sum-1][0]=d[sum][0],d[sum-1][1]=d[sum][1];
                r[sum-1]=r[sum],r[sum]=l[sum]=0;
                sum--; 
                z[sum]=calc(d[sum-1][0],d[sum-1][1],d[sum][0],d[sum][1]);
                bz=true;
            }
            if(sum-st+1>2&&z[st+1]<0) st++,bz=true;
            if(!bz) break;
        }
    }
    fo(i,st+1,sum){
        if(z[i]>m) break;
        dis=sqr(a[l[i]][0]-z[i])+sqr(a[l[i]][1]);
        if(dis>ans)
            ans=dis;
    }
    printf("%.6lf",sqrt(ans));
}