關於matlab中用fft分析信號頻譜爲何要乘2/N的思考

 注意到用matlab分析信號頻譜時必須要乘個2/N才能得到正確的幅度譜幅值，如下：

A=50;       % A 幅度值
fs=500; % fs 採樣率
F=50;   % F 頻率,小於採樣率的一半（奈奎斯特）
N=100;   % N 採樣個數
dt=1/fs;    %時間間隔
t=0:dt:(N-1)*dt;    %時間向量
freqPixel=fs/N;     %頻率分辨率，即點與點之間頻率單位
y=A*sin(2*pi*F*t);	%正弦波
%信號頻譜
freq=fft(y,N)*2/N;%做離散傅里葉
freq_d=abs(fftshift(freq));
w=(-N/2:1:N/2-1)*fs/N; %雙邊  
plot(w,freq_d);

可以看到結果正確

之後查詢書本發現，我之前以爲信號x(n)的DFT變換X（K）的幅值就是其頻譜幅值，這個想法是錯誤的！

首先，DFT的定義爲： 

由於的週期性，所以DFT具有隱含週期性，X(K)實質上是x(n)的以N爲週期延拓的序列x((n))N的離散傅里葉級數的頻譜特性，故要搞清楚DFT與其模擬信號頻譜的關係還要從週期序列傅里葉變換入手；

由，則有

 即

，

到這一步可以看出，模擬信號傅里葉變換是將信號以正弦信號爲形式的各次諧波，而正弦信號的傅里葉變換與其DFT之間正好差一個2/N的係數

以上只是我的個人理解，如有錯誤還請指正，謝謝閱讀！