小奇的矩陣 DP

小奇的矩陣

【題目背景】

小奇總是在數學課上思考奇怪的問題。

【問題描述】

給定一個n*m的矩陣，矩陣中的每個元素aij爲正整數。

接下來規定

1.合法的路徑初始從矩陣左上角出發，每次只能向右或向下走，終點爲右下角。

2.路徑經過的n+m-1個格子中的元素爲A1,A2…A(n+m-1)，Aavg爲Ai的平均數，路徑的V值爲(n+m-1)*∑(Ai-Aavg) ^2

(1<=i<=n+m-1)

求V值最小的合法路徑，輸出V值即可，有多組測試數據。

輸入格式

第一行包含一個正整數T，表示數據組數。

對於每組數據：

第一行包含兩個正整數n和m，表示矩陣的行數和列數。
接下來n行，每行m個正整數aij，描述這個矩陣。

輸出格式

對於每次詢問，輸出一行一個整數表示要求的結果

樣例輸入

1
2 2
1 2
3 4

樣例輸出

14

數據規模

對於30%的數據 n<=10，m<=10

有另外40%的數據 n<=15 m<=15，矩陣中的元素不大於5

對於100%的數據 T<=5，n<=30，m<=30，矩陣中的元素不大於30

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看到方差的形式也不能打出GG。

首先容易看出來是一個DP，因爲有明顯的階段性，而且很容易想到有兩維應該用來記錄位置。但是應該記錄什麼呢？是否應該加維數呢？

留給我們的突破口就只有答案的這個式子了，所以其實本題比較好想。對於題面裏的形式顯然是難以處理的，考慮對式子變形。

Ans=(n+m−1)∑(Ai−Avg)2
       =(n+m−1)∑(A2i−2AvgAi+Avg2)
       =(n+m−1)(A21+A22+…+A2n+m−1)−2Avg(n+m−1)(A1+A2+…An+m−1)+(n+m−1)2Avg2

不妨設Sum=A1+A2+A3+…+An+m−1 ，那麼根據平均數的定義有Avg(n+m−1)=Sum ，代入上式化簡得

Ans=(n+m−1)(A21+A22+…+A2n+m−1)−2Sum2+Sum2
       =(n+m−1)(A21+A22+…+A2n+m−1)−Sum2

所以現在我們只需要求出對一個給定的Sum ，求出對應最小的(A21+A22+…+A2n+m−1) 即可。

所以定義狀態f[i][j][k] 表示當前走到(i,j) ，當前得到的總和爲k 時的最小(A21+A22+…+A2i+j−1) 。狀態轉移方程：

f[i][j][k]=min(f[i−1][j][k−Aij]+f[i][j−1][k−Aij])+A2ij

要得到最終答案，枚舉(n+m−1)f[n][m][k]−k2 的最小值即可。

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#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int N,M,Map[35][35],f[35][35][1805];
long long Ans,Tmp;

int main()
{
    int i,j,k,T;

    scanf("%d",&T);

    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&N,&M);

        for(i=1;i<=N;i++)
        for(j=1;j<=M;j++)
        scanf("%d",&Map[i][j]);

        for(i=0;i<=N;i++)
        for(j=0;j<=M;j++)
        for(k=0;k<=1770;k++)f[i][j][k]=1e8;

        f[1][1][Map[1][1]]=Map[1][1]*Map[1][1];

        for(i=1;i<=N;i++)
        for(j=1;j<=M;j++)
        {
            if(i==1&&j==1)continue;
            for(k=Map[i][j];k<=1770;k++)
            f[i][j][k]=min(f[i-1][j][k-Map[i][j]],f[i][j-1][k-Map[i][j]])+Map[i][j]*Map[i][j];
        }

        Ans=1e9;
        for(k=0;k<=1770;k++)
        {
            Tmp=1ll*(N+M-1)*f[N][M][k]-k*k;
            if(Ans>Tmp)Ans=Tmp;
        }

        printf("%lld\n",Ans);
    }
}