圆圈中最后剩下的数字（36）

题目

【首先,让小朋友们围成一个大圈，小朋友的编号是从0到n-1。然后随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到 m-1 的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友，求最后一个小朋友的编号。如果没有小朋友，请返回-1】

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方法一

1、分析

• 该题是约瑟夫环问题，可以采用环形链表的方式来模拟圆圈。该环形链表共有n个节点，每次删除第m-1个节点(从0开始计数)。
• 使用标准模板库中的list来进行操作，每次删除一个元素需要运行 m 步，若共有n个数字，则其时间复杂度为 $O(mn)$ ，同时还需要一个辅助的链表来模拟圆圈，其空间复杂度 $O(n)$ 。

2、代码

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1 || m<1)
            return -1;
        list<int> num;
        for(int i=0;i<n;++i)
            num.push_back(i);
        list<int>::iterator curNum=num.begin();
        while(num.size()>0)
        {
            if(num.size()==1)
                return  *curNum;
            //注意初始时迭代器是指向第一个元素，所以是从j=1开始，而不是0
            for(int j=1;j<m;++j)
            {
                curNum++;
                if(curNum==num.end())
                {
                    curNum=num.begin();
                }
            }
            list<int>::iterator nextNum=++curNum;
            if(nextNum==num.end())
                nextNum=num.begin();
            num.erase(--curNum);
            curNum=nextNum;
        }
    }
};

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方法二：

1、分析

• 由于使用环形链表的方式来删除对应的元素，每次删除元素会有大量的重复遍历过程，且需要借助额外的空间，所以可以使用更好的方法。
• 当有n个元素时，删除第m个元素，则第一个被删除的元素为 $k=(m-1)\%n$ (因为m可能会大于n，所以要对n取模)。剩下的为 0,1,2······，k-1, k+1,···,n-1 。并且下一次删除数字时从 k+1 开始计数，相当在剩下的序列中 k+1 排在最前面： k+1,···,n-1 , 0,1,2······，k-1。
• 可以将该过程看成关于 m 和 n 的函数，设： $f(n,m)$ 为在n个数字中不断的删除第m个数字，最后所剩下的数字。设 $g(n-1,m)$ 为删除第一个数字之后，所剩下的数字中再不断的删除第m个数字，最后所剩下的数字。显然 $f(n,m)=g(n-1,m)$ 。
• 接下来将 k+1,···,n-1 , 0,1,2······，k-1 这些数字映射成 0~n-2 的序列

k+1 --> 0
k+2 --> 1
·······
n-1 --> n-k-2
0 --> n-k-1
1 --> n-k
····
k-1 --> n-2

最终的迭代公式为：$f(n,m)=\begin{cases} 0 & n=1\\ [ f(n-1,m)+m]\%n & n>1 \end{cases}$
2、代码

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1 || m<1)
            return -1;
        int last=0;
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            last=(last+m)%i;
        }
        return last;
    }
};