傅里葉級數、傅里葉變換以及卷積定理——信號與系統小結（1）

時隔多年，趁疫情在家，重新學習鄭君里老師的信號與系統，把前面的一些概念做個小結吧，順便自己學習一下markdown語法。

下面就開始吧。BTW，markdown寫這種文檔確實好看。

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1.週期函數的傅里葉級數

函數$f(t)$週期爲$T_1$，角頻率$\omega_{1}=\frac{2 \pi}{T_{1}}$ ,函數的傅里葉級數如下：

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \omega_{1} t}\tag{1.1}$

$F_{n}=\frac{1}{T_{1}} \int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{T_{1}} f(t) e^{-j n\omega_{1} t} d t\tag{1.2}$

2.非週期函數的傅里葉變換

把$f(t)$的週期$T_{1} \rightarrow \infty$，得到非週期函數的傅里葉變換如下：

$f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d \omega \tag{2.1}$

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t \tag{2.2}$

3.週期函數的傅里葉變換和傅里葉級數的關係

$F(\omega)=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta\left(\omega-n \omega_{1}\right) \tag{3.1}$

4.時域卷積定理

給定兩個函數$f_1(t)$和$f_2(t)$ ，傅里葉變換如下：

$\mathscr{F}\left[f_{1}(t)\right]=F_{1}(\omega) \tag{4.1}$

$\mathscr{F}\left[f_{2}(t)\right]=F_{2}(\omega) \tag{4.2}$

則：

$\mathscr{F}\left[f_{1}(t) * f_{2}(t)\right]=F_{1}(\omega) F_{2}(\omega) \tag{4.3}$

證明過程如下：

根據卷積定義，已知

$f_{1}(t) * f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) \cdot f_{2}(t-\tau) d \tau \tag{4.4}$

那麼：

$\begin{aligned} \mathscr{F}\left[f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)\right] &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau\right] e^{-j \omega t} d t \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty} f_{2}(t-\tau) \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} \tau \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty} f_{2}(t-\tau) \mathrm{e}^{-j \omega(t-\tau)} \mathrm{e}^{-j \omega \tau} \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} \tau \\ &\left.=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) F_{2}(\omega) e^{-j \omega(t-\tau)} \mathrm{d} \mathrm{t}\right] \mathrm{e}^{-j \omega \tau} \mathrm{d} \tau \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) F_{2}(\omega) e^{-j \omega \tau} d \tau \\ &=F_{1}(\omega) \cdot F_{2}(\omega) \end{aligned} \tag{4.5}$

證畢。

5.頻域卷積定理

給定兩個函數$f_1(t)$和$f_2(t)$ ，傅里葉變換如下：

$\mathscr{F}\left[f_{1}(t)\right]=F_{1}(\omega) \tag{5.1}$

$\mathscr{F}\left[f_{2}(t)\right]=F_{2}(\omega) \tag{5.2}$

則：

$\mathscr{F}\left[f_{1}(t) \cdot f_{2}(t)\right]=\frac{1}{2 \pi} F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega) \tag{5.3}$

證明過程如下：

根據卷積定義，已知

$F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu) \cdot F_{2}(\omega-\mu) d \mu \tag{5.4}$

那麼

$\begin{aligned} \mathcal{F}^{-1}\left[\frac{1}{2 \pi} F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega)\right] &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi}\left[\int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu) \cdot F_{2}(\omega-\mu) d \mu\right] e^{j \omega t} d \omega \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu)\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{2}(\omega-\mu) e^{j \omega t} d \omega\right] d \mu \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu)\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{2}(\omega-\mu) e^{j(\omega-\mu) t} d \omega\right) e^{j \mu t} d \mu \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu) f_{2}(t) e^{j \mu t} d \mu \\ &=f_{2}(t) \cdot \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu) e^{j \mu t} d \mu \\ &=f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) \end{aligned} \tag{5.5}$

證畢。