抽樣信號的傅里葉變換——信號與系統小結（2）

1 典型函數的傅里葉級數、傅里葉變換

1.1 單位衝激函數

單位衝激函數記作$\delta(t)$。定義爲：

$\left\{\begin{array}{l} {\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \mathrm{d} t=1} \\ {\delta(t)=0} \end{array} \quad(t \neq 0)\right. \tag{1.1}$

如果衝激出現在$t=t_0$,則定義爲：

$\left\{\begin{array}{l} {\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) \mathrm{d} t=1} \\ {\delta\left(t-t_{0}\right)=0} \end{array} \quad\left(t \neq t_{0}\right)\right. \tag{1.2}$

單位衝激函數的抽樣特性（或稱之爲 篩選特性）：

$\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) f(t) \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) f\left(t_{0}\right) \mathrm{d} t=f\left(t_{0}\right) \tag{1.3}$

1.2 週期衝激函數序列的傅里葉級數

用符號$\delta_{T}(t)$來表示週期單位衝激序列，即

$\delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{s}\right) \tag{1.4}$

展開成傅里葉級數

$\delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{s}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \omega_s t} \tag{1.5}$

其中

$\begin{aligned} F_{n} &=\frac{1}{T_{s}} \int_{-\frac{T_{s}}{2}}^{\frac{T_{s}}{2}} \delta_{T}(t) \mathrm{e}^{-jn \omega_{s} t} \mathrm{d} t \\ &=\frac{1}{T_{s}} \int_{-\frac{T_{s}}{2}}^{\frac{T_{s}}{2}} \delta(t) \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t} \mathrm{d} t \\ &=\frac{1}{T_{s}} \end{aligned} \tag{1.6}$

那麼

$\delta_{T}(t)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j n \omega_s t} \tag{1.7}$

$\delta_{T}(t)$的傅里葉變換爲

$\mathscr{F}[f(t)]=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{1.8}$

把$F_n=\frac{1}{T_1}$代入式${1.8}$，得

$F(\omega)=\mathscr{F}\left[\delta_{T}(t)\right]=\omega_{s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{1.9}$

從${1.9}$式可見，週期單位衝激序列的傅里葉變換中，只包含位於$n\omega_s$處的衝激函數，強度是相等的，均等於$\omega_s$。

2 抽樣信號的傅里葉變換

主要看時域抽樣。

令：

連續信號$f(t)$的傅里葉變換爲

$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)] \tag{2.1}$

抽樣脈衝序列$p(t)$的傅里葉變換爲

$P(\omega)=\mathscr{F}[p(t)] \tag{2.2}$

抽樣後信號$f_s(t)$的傅里葉變換爲

$F_s(\omega)=\mathscr{F}[f_s(t)] \tag{2.3}$

採用均勻抽樣，抽樣週期爲$T_s$，抽樣頻率爲$\omega_s=\frac{2\pi}{T_s}$。

一般情況下，抽樣過程是抽樣脈衝序列$p(t)$和和連續信號$f(t)$相乘，即：

$f_s(t)=f(t)p(t) \tag{2.4}$

因爲$p(t)$是週期信號，那麼$p(t)$的傅里葉變換等於

$P(\omega)=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} P_{n} \delta\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{2.5}$

其中

$P_{n}=\frac{1}{T_{s}} \int_{-\frac{T_{s}}{2}}^{\frac{T_{s}}{2}} p(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n \omega_{s} t} \mathrm{d} t \tag{2.6}$

根據頻域卷積定理$\mathscr{F}\left[f_{1}(t) \cdot f_{2}(t)\right]=\frac{1}{2 \pi} F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega)$,可知

$F_{s}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} F(\omega) * \mathrm{P}(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} P_{n} F\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{2.7}$

如果抽樣脈衝序列$p(t)$爲衝激序列，稱之爲“衝激抽樣”或者“理想抽樣”。那麼：

$p(t)=\delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{s}\right) \tag{2.8}$

$f_{s}(t)=f(t) p(t)=f(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{s}\right) \tag{2.9}$

由上面的分析可得衝激抽樣信號的頻譜爲：

$F_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{2.10}$

由${2.10}$式可以看出，經過沖激序列抽樣後的信號傅里葉變換爲原信號的傅里葉變換以$\omega_s$爲週期重複，幅度被$\frac{1}{T_s}$加權。

在實際中，可以近似認爲是衝激抽樣。