循環羣的子羣、羣階因子、元素階

前言：僅個人小記。

討論內容

1. 子羣的階必然爲羣階的因子，這一點由羣論中的拉格朗日定理已經知道，不必再詳細討論。
2. 循環羣 G 的羣階 n 的因子 d 必然相應一個子羣，該子羣的階就等於 d，即羣論中拉格朗日定理的逆在循環羣中成立。
3. 循環羣 G 中， 階爲 d 的元素必然共有 $\varphi(d)$ 個，d 是羣階 n 的因子。
4. 循環羣 G 中，根據階不同，對所有元素進行劃分，引出定理 $n=\sum_{d|n}\varphi(d)$

前要知識和規定

1. 循環羣爲 G，G 的階爲 n，G 的生成元爲 g。
2. $ord(x^a)=\frac{ord(x)}{(ord(x),a)}$,證明參看 https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/101050414

開始討論

1. 因爲 G 是循環羣，所以 G 中的每一個元素必然可以表示爲生成元 g 的冪。正因如此，對於 $\forall d|n，有 g^{\frac{n}{d}}\in G$，進而根據前要知識2知道，$o(g^{\frac{n}{d}})=\frac{o(g)}{(o(g),\frac{n}{d})}=\frac{n}{(n,\frac{n}{d})}=\frac{n}{\frac{n}{d}}=d$故而很容易找到了一個階爲因子 d 的元素，進而顯然對於因子 d 有相應的子羣 $<g^{\frac{n}{d}}>$，進而循環羣 G 的羣階 n 的因子 d 必然相應一個子羣，該子羣的階就等於 d，即羣論中拉格朗日定理的逆在循環羣中成立。即，必然元素的階就等於 n 的因子 d。

2. 循環羣 G 中， 階爲 d 的元素必然共有 $\varphi(d)$ 個，d 是羣階 n 的因子。
   這個問題就等價於討論：$o(g^k)=d,1\leq k\leq n$問， k 的取值有多少個？
   根據前要知識2，$o(g^k)=\frac{o(g)}{(o(g),k)}=\frac{n}{(n,k)}=d$進而更變爲
   $(n,k)=\frac{n}{d}，1\leq k\leq n$滿足上式的 k 有多少個？
   k 能滿足
   $(n,k)=\frac{n}{d}，1\leq k\leq n$則必然 $\frac{n}{d}|k$ ，進而上式等價於滿足
   $(\frac{n}{\frac{n}{d},},\frac{k}{\frac{n}{d}})=1，1\leq k\leq n$記，$t =\frac{k}{\frac{n}{d}}$， t 爲整數，則
   $(d,t)=1$顯然，t 就是與 d 互素的元素，故而 t 的取值個數有 $\varphi(d)$個，進而 $k=t\frac{n}{d}$也有 $\varphi(d)$ 個取值。進而，循環羣 G 中， 階爲 d 的元素必然共有 $\varphi(d)$ 個，討論完畢！

3. 循環羣 G 中，根據階不同，對所有元素進行劃分，引出定理 $n=\sum_{d|n}\varphi(d)$
   證明： 因爲元素的階是唯一的，而根據上述討論知道：(1) 元素的階的必然是羣階的因子 （2）每個因子 d 對應元素階也爲 d 的元素共有 $\varphi(d)$ 個，進而可以對循環羣 G 的元素引出一個關係 $R=\{(a,b)o(a)=o(b),a,b\in G|\}$，基於這個關係，對循環羣進行劃分，劃分如下圖

討論完畢！