中國剩餘定理邏輯簡述

前言：僅個人小記。中國剩餘定理CRT和拉格朗日插值如出一轍。

問題

$n\equiv r_1(mod \ m_1) \\ n\equiv r_1(mod \ m_2) \\. \\. \\. \\n\equiv r_1(mod \ m_k)$
其中模數互質，即$m_i\perp m_j,i\neq j$，求 n 。

解決方案

引入$M=\prod_{i=1}^{k}m_i,\ M_i=\frac{M}{m_i}$

$\delta_i=M_i(M_i^{-1}mod \ m_i)$$\delta_i$ 有很好的特性，即
只有在 $m=m_i$時候，纔有 $\delta_i \ mod\ m = 1 \neq 0$ (具體運算即， $M_i(M_i^{-1}mod\ m_i)mod\ m_i=(M_i\ mod \ m_i )(M_i^{-1} \ mod \ m_i)=1$ ),其他時候即$m=m_j,j\neq i$，統統有 $\delta_i\ mod\ m = 0$。參看拉格朗日插值的推導，和裏面的 $\delta_i(x)$ 如出一轍。

進而完全繼續仿製其推導，引入 $g_i=r_i\delta_i$，$g_i$ 的特性顯然，即
只有在 $m=m_i$時候，纔有 $g_i \ mod\ m = r_i \neq 0$,其他時候即$m=m_j,j\neq i$，統統有 $g_i\ mod\ m = 0$。

進一步，容易知道 $n\equiv(\sum_{i=1}^{k}g_i) (mod\ M)$

解畢！