循環羣的階每一個因子都對應唯一的一個子羣

前言：僅個人小記。這個性質是循環羣的獨有的。

證明內容

循環羣G的階爲 n， 對任意 n 的因子 d ，即 d|n，都存在一個 唯一的d 階子羣 H。

證明

循環羣 G 的生成元記爲 g， 羣階記爲 n。
引入集合 $Z_n={0,1,...,n-1}$

第一部分

引入G的一個子集H， $H=\{x|x^d=1,x\in G\}$，顯然，H 在 G 中具有唯一性。

第二部分–證明 $|H|\leq d$

因爲 $x\in G$，所以 x 可以寫成 $x=g^k,k\in Z_n$，進一步約束 k，即要求 $g^{kd}=1$，現在討論 k 的可能取值的個數。
因爲$g^{kd}=1$所以必然有

$n|kd$進而$kd=sn,s爲正數$進而$k=\frac{n}{d}s$因爲 d 是 n 的因子，所以 $\frac{n}{d}$ 是整數。又因爲 $k\in Z_n$所以$\frac{n}{d}s\in Z_n$顯然，s 的取值只能爲

$\{1,2,...,d\}$所以 k 的取值只能是

$\{\frac{n}{d},\frac{n}{d}2,...,\frac{n}{d}d\}$ 進而 使得 $g^{kd}=1$ 成立的 k 最多隻有 d 個，進而$x^d=1$的 x 的個數最多隻有 k 個，進而集合 H 的基滿足

$|H|\leq k$

第三部分-- 證明 $H=<g^{n/d}>$

因爲 d|n ,所以顯然有元素 $g^{n/d}$的階爲 d，顯然 $g^{n/d} \in H$，又因爲 $g^{n/d}$這個元素可以生成一個 d 階循環子羣爲 $<g^{n/d}>$，顯然，$\forall y\in <g^{n/d}>,y\in H$進而

$<g^{n/d}>\subseteq H$又因爲 $|H|\leq d$所以，$H=<g^{n/d}>$綜上，循環羣的階的因子 d 必然對應這個一個子羣，且該子羣唯一。證畢！