循环群的阶每一个因子都对应唯一的一个子群

前言：仅个人小记。这个性质是循环群的独有的。

证明内容

循环群G的阶为 n， 对任意 n 的因子 d ，即 d|n，都存在一个 唯一的d 阶子群 H。

证明

循环群 G 的生成元记为 g， 群阶记为 n。
引入集合 $Z_n={0,1,...,n-1}$

第一部分

引入G的一个子集H， $H=\{x|x^d=1,x\in G\}$，显然，H 在 G 中具有唯一性。

第二部分–证明 $|H|\leq d$

因为 $x\in G$，所以 x 可以写成 $x=g^k,k\in Z_n$，进一步约束 k，即要求 $g^{kd}=1$，现在讨论 k 的可能取值的个数。
因为$g^{kd}=1$所以必然有

$n|kd$进而$kd=sn,s为正数$进而$k=\frac{n}{d}s$因为 d 是 n 的因子，所以 $\frac{n}{d}$ 是整数。又因为 $k\in Z_n$所以$\frac{n}{d}s\in Z_n$显然，s 的取值只能为

$\{1,2,...,d\}$所以 k 的取值只能是

$\{\frac{n}{d},\frac{n}{d}2,...,\frac{n}{d}d\}$ 进而 使得 $g^{kd}=1$ 成立的 k 最多只有 d 个，进而$x^d=1$的 x 的个数最多只有 k 个，进而集合 H 的基满足

$|H|\leq k$

第三部分-- 证明 $H=<g^{n/d}>$

因为 d|n ,所以显然有元素 $g^{n/d}$的阶为 d，显然 $g^{n/d} \in H$，又因为 $g^{n/d}$这个元素可以生成一个 d 阶循环子群为 $<g^{n/d}>$，显然，$\forall y\in <g^{n/d}>,y\in H$进而

$<g^{n/d}>\subseteq H$又因为 $|H|\leq d$所以，$H=<g^{n/d}>$综上，循环群的阶的因子 d 必然对应这个一个子群，且该子群唯一。证毕！