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GIS中的拓撲關係
拓撲研究的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變。在變形過程中不使原來不同的點重合爲同一個點，又不產生新點。拓撲有一個形象說法——橡皮幾何學。
拓撲變換：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在着一一對應的關係，並且鄰近的點還是鄰近的點。
幾何（ Geometry）是與點的位置有關。幾何信息主要涉及幾何目標的座標位置、方向、角度、距離和麪積等信息，它通常用解析幾何的方法來分析。
拓撲（topology ）是與點的空間關係有關。空間關係信息主要涉及幾何關係的“相連”、“相鄰”、“包含”等信息，它通常用拓撲關係或拓撲結構的方法來分析。拓撲關係是明確定義空間關係的一種數學方法。在地理信息系統中用它來描述並確定空間的點、線、面之間關係及屬性，並可實現相關的查詢和檢索。從拓撲觀點出發，關心的是空間的點、線、面之間的聯接關係，而不管實際圖形的幾何形狀。因此，幾何形狀相差很大的圖形，它們的拓撲結構卻可能相同。
圖3-4(a)(b)所表示的圖，其幾何形狀不同，但它們結點間拓撲關係是相同的，均可用圖3-4(c)所示結點鄰接矩陣表示。(c)中交點爲1處表示相應縱橫兩結點相連。
總之，拓撲關係反映了空間實體之間的邏輯關係，它不需要座標、距離信息，不受比例尺限制，也不隨投影關係變化。因此，在地理信息系統中，瞭解拓撲關係對空間數據的組織，空間數據的分析和處理都具有非常重要的意義。
在GIS中，拓撲空間關係是指拓撲變換下的拓撲不變量，拓撲關係是指網結構元素結點、弧段、面域之間的空間關係，主要表現爲下列三種關係：拓撲鄰接關係（ Adjacency ）、拓撲關聯關係（ Incidence ）、拓撲包含關係（ Enclosure ）。
拓撲鄰接指存在於空間圖形的同類元素之間的拓撲關係。鄰接關係通常用鄰接矩陣來表示。
拓撲鄰接性表示圖形中同類元素之間的拓撲關係。如多邊形之間的鄰接性，弧段之間的鄰接性以及結點之間鄰接關係(連通性)。由於弧段的走向是有向的，因此，通常用弧段的左右多邊形號來表示並求出多邊形的鄰接性，如圖3-6(a)所示圖，用弧段走向的左右多邊形表示時，得到表3-1(a)。顯然，同一弧段的左右多邊形必然鄰接，從而得到如表3-1(b)所示的多邊形鄰接矩陣表。表中值爲1處，所對應多邊形相鄰接，從表3-1(b)整理得到多邊形鄰接性表如表3-1(c)所示。
同理，從圖3-6(a)可得到如表3-2所示的弧段和結點之間關係表。由於同一弧段上兩個結點必連通，同一結點上的各弧段必相鄰，所以分別得弧段之間鄰接性矩陣和結點之間連通性矩陣如表2-3(a)，(b)所示。
拓撲關聯指存在於空間圖形的不同類元素之間的拓撲關係。同樣，關聯關係可以用關聯矩陣來表示。
拓撲關聯性表示空間圖形中不同類型元素，如結點、弧段及多邊形之間的拓撲關係。如圖3-6(a)所示的圖形，具有多邊形和弧段之間的關聯性P1/a1，a5，a6；P2/a2，a4，a6等，如圖3-6(b)所示。也有弧段和結點之間的關聯性，N1/a1，a3，a5，N2/a1，a6，a2等。即從圖形的拓撲關聯性出發，圖3-6(a)可用如圖3-6(b)，(c)所示的關聯表來表示。
用關聯表來表示圖的優點是每條弧段所包含的座標數據點只需存儲一次，如果不考慮它們之間關聯性而以每個多邊形的全部封閉弧段的座標點來存儲數據，不僅數據量大，還無法反映空間關係。
包含關係可以分爲3種，點在面內，線在面內，面在面內。包含關係也是GIS中十分重要的拓撲關係。
拓撲包含性是表示空間圖形中，面狀實體中所包含的其它面狀實體或線狀、點狀實體的關係。
面狀實體中包含面狀實體情況又分爲三種情況，即簡單包含、多層包含和等價包含。分別如圖3-7(a)，(b)和(c)所示。
圖3-7(a)中多邊形P1中包含多邊形P2，圖3-7(b)中多邊形P3包含在多邊形P2中，而多邊形P2，P3又都包含在多邊形P1中。圖3-17(c)中多邊形P2，P3都包含在多邊形P1中，多邊形P2、P3對P1而言是等價包含。
ArcGIS中的拓撲
參考資料：https://pro.arcgis.com/zh-cn/pro-app/help/data/topologies/topology-in-arcgis.htm
拓撲在ArcGIS中的實現
在地理數據庫中，拓撲是定義點要素、線要素以及多邊形要素共享重疊幾何的方式的排列布置。例如，街道中心線與人口普查區塊共享公共幾何，相鄰的土壤多邊形共享公共邊界。
處理拓撲不僅僅是提供一個數據存儲機制。在 ArcGIS 中，拓撲包括以下所有方面：
- 地理數據庫包括一個拓撲數據模型，該模型對簡單要素（點、線及多邊形要素類）、拓撲規則以及具有共享幾何的要素之間的拓撲集成座標使用開放式存儲格式。該數據模型能夠爲參與拓撲的要素類定義完整性規則和拓撲行爲。
- ArcGIS 在地圖中包括了用於顯示拓撲關係、錯誤和異常的拓撲圖層。ArcGIS 還包括一組用於拓撲查詢、編輯、驗證以及糾錯的工具。
- ArcGIS 包括用於構建、分析、管理以及驗證拓撲的地理處理工具。
- ArcGIS 包括用於分析和發現點、線以及多邊形要素類中拓撲元素的高級軟件邏輯。
- ArcGIS 包括一個編輯和數據自動化框架，用於創建、維護和驗證拓撲完整性以及執行共享要素編輯。
- 在能夠導航拓撲關係、處理鄰接和連通性以及通過這些元素組裝要素的 ArcGIS Desktop、ArcGIS Server 和 ArcGIS Pro 產品中均包含 ArcGIS 軟件邏輯。例如，標識共享特定公用邊的多邊形；列出在某個節點連接的邊；從當前位置起沿連接邊導航；添加一條新線並將其嵌入拓撲圖；在交叉點分割線；以及創建生成的邊、面和節點等。