面試題[數學與概率]: 從數據流中隨機選取樣本

題目：輸入一段int型數據流，輸入未完成之前並不知道數據流的長度，要求在O(1)空間複雜度的前提下隨機選出一個元素，並保證每一個元素被選中的概率是一樣的。

我的解法如下：

假如輸入的數據流依次是10、20、30、40、……

收到10時：以概率1選擇10；
收到20時：以概率1/2選擇10，以概率1/2選擇20；
收到30時：以概率2/3選擇上一次選到的元素，以概率1/3選擇30；
收到40時：以概率3/4選擇上一次選到的元素，以概率1/4選擇40；
……
收到第N個數時：以概率(n-1)/n選擇上一次選到的元素，以概率1/n選擇當前元素。

進階題：那麼如何等概率選取k個數呢？

解法類似，先以概率1選取前k個數，然後：
對於第k+1個數，以k/(k+1)的概率選擇它，如果被選中，則隨機替換原來的k個數中的一個；
對於第k+2個數，以k/(k+2)的概率選擇它，如果被選中，則隨機替換原來的k個數中的一個；
……
對於第N個數，以k/N的概率選擇它，如果被選中，則隨機替換原來的k個數中的一個。