線性反饋移位寄存器(Linear Feedback Shift Register, LFSR)

線性反饋移位寄存器(LFSR)：通常由移位寄存器和異或門邏輯組成。其主要應用在：僞隨機數，僞噪聲序列，計數器，BIST，數據的加密和CRC校驗等。

線性反饋移位寄存器(LFSR)主要包括兩大類

• 伽羅瓦(內部LFSR)，又稱one-to-many
  
• 斐波那契(外部LFSR)，又稱many-to-one
  

• 其中，gn爲反饋係數，取值只能爲0或1，取爲0時表明不存在該反饋之路，取爲1時表明存在該反饋之路；這裏的反饋係數決定了產生隨機數的算法的不同。用反饋函數表示成
  y = a0x^0 + a1x + a2x^2…，反饋函數爲線性的叫線性移位反饋序列，否則叫非線性反饋移位序列。
• Q1、Q2、Q3、Qn爲LFSR的輸出，M(x)是輸入的碼字多項式，如M(x)=x^4+ x^1+ 1，表示輸入端的輸入順序爲11001，同樣，LFSR的結構也可以表示爲多項式G(x)，稱爲生成多項式：
  G(x) = gn*x^n+ …+g1*x^1+ g0；

抽頭選擇與狀態個數最大

• 影響線性反饋寄存器下一個狀態的比特位叫做抽頭，選取的“某些位”構成的序列叫做抽頭序列，理論表明，要使LFSR得到最長的週期，這個抽頭序列構成的多項式加1必須是一個本原多項式（所有係數的最大公因數爲1的多項式），也就是說這個多項式不可約，如：
  f(x) = x^4 + x + 1
• n個D觸發器最多可以提供2^(n-1)個狀態(不包括全0的狀態)，爲了保證這些狀態沒有重複，gn的選擇必須滿足一定的條件。下面以n=3，g0=1，g1=1，g2=0，g3=1爲例，說明LFSR的特性，具有該參數的LFSR結構如下圖：
  

假設在開始時，D2D1D0=111(seed)，那麼，當時鍾到來時，有：
D2=D1_OUT=1；
D1=D0_OUT^D2_OUT=0；
D0=D2_OUT=1；
即D2D1D0=101；同理，又一個時鐘到來時，可得D2D1D0=001.……

畫出狀態轉移圖如下：

從圖可以看出，正好有2^3-1=7個狀態，不包括全0；
如果您理解了上圖，至少可以得到三條結論：
1)初始狀態是由SEED提供的；
2)當反饋係數不同時，得到的狀態轉移圖也不同；必須保證gn===1,否則哪來的反饋？
3)D觸發器的個數越多，產生的狀態就越多，也就越“隨機”；

• 抽頭的位置會影響LSFR的最大輸出狀態的個數,例如：3bit的抽頭爲【3,2】會產生7個狀態（多項式對應爲：x^3+x2+1)，若抽頭爲【3,1】會產生2個狀態（多項式對應爲：x^3+x+1)。
  當N bits下，抽頭的設定產生的最大輸出序列長度爲2^N-1時，此時對應的模2多項式爲本原多項式。下表爲不同的bits下，抽頭的設定（對應不同的本原多項式）和最大的輸出狀態個數關係表。
  
  參考文章：
  LFSR的工作原理以及LFSR在CRC上的應用；
  線性反饋移位寄存器（LFSR）-非線性反饋移位寄存器的verilog實現（產生僞隨機數）；
  線性反饋移位寄存器原理