3d變換基礎：平移、旋轉、縮放（仿射變換）詳解——公式推導

是時候整理一波3d變換相關的知識了。模型的變換可以認爲是空間中一堆點的變換，三維空間中，（x,y,z）可以認爲是點，也可以認爲是一個向量，因此，人們引入的第4個維度來標識是點還是向量，這個4維空間就叫仿射空間，具體可以參考CV及CG數學基礎：空間，在仿射空間中，(x,y,z,0)標識向量，而（x,y,z,1）表示點。

平移、旋轉、縮放

平移

平移沒什麼好說的，（x,y,z,1）向x，y，z軸分別移動a,b,c單位長度後變成（x+a, y+b, z+c, 1）。寫成矩陣相乘的方式即爲：

$\left[ \begin{matrix} x+a \\ y+b \\ z+c \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & a\\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$

旋轉

對於旋轉，任何一個旋轉都可以認爲是沿着x，y，z軸分別旋轉 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 度數，所以選旋轉就先講沿着某個軸向的旋轉。這裏以逆着座標軸正向方向看去的順時針爲旋轉的正向，就是你的視線朝向和座標軸正向是相反的，(⊙o⊙)…我還是畫個圖吧，下圖就是沿着z軸旋轉的正向了哈~

1. 沿x軸旋轉

嗯！這裏推一波公式，其實很簡單，就是三角函數。
如上圖左邊，A點沿着x軸旋轉一定角度變成A’，爲了更容易看，右圖是左圖的左視圖，記旋轉的角度爲$\theta$, 旋轉後得到的A’與旋轉中心連線與y軸正方向的夾角爲$\alpha$（圖中的$\alpha$是個負值），記A’與旋轉中心連線的長度爲L（A與旋轉中心連線的長度也是L），那麼，顯而易見，有：

$\begin{aligned} x' =& x\\ y' =& L·cos(\theta + \alpha)\\ z' =& L·sin(\theta + \alpha) \end{aligned}$

$\begin{aligned} y =& L·cos\alpha\\ z =& L·sin\alpha \end{aligned}$
根據三角函數公式可以得到
$\begin{aligned} y' =& L·cos(\alpha - \theta) = L·(cos\alpha cos\theta - sin\alpha sin\theta) = ycos\theta -zsin\theta\\ z' =& L·sin(\alpha - \theta) = L·(sin\theta cos\alpha + cos\theta sin\alpha ) = ysin\theta + zcos\theta \end{aligned}$
綜上，有：
$\begin{aligned} x' =& x\\ y' =& ycos\theta -zsin\theta\\ z' =&ysin\theta + zcos\theta \end{aligned}$
現在就可以寫成漂亮的矩陣形式了：
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$

2. 沿y軸或者z軸旋轉

推了x軸的，其他兩個軸向其實原理都是一樣的。
對於y軸，可以簡單把y軸和x軸對調，也就是公式裏的x，y對調，不過這樣子的話，z軸的方向會反過來，所以再把z相關的加個符號就好了。
公式如下：
$\begin{aligned} y' =& y\\ x' =& xcos\theta +zsin\theta\\ z' =&-xsin\theta +zcos\theta \end{aligned}$
寫成漂亮的矩陣形式就是：
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta &0 & sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$

對於z軸，x，z互換，y置反，直接上公式：
$\begin{aligned} z' =& z\\ y' =& ycos\theta +xsin\theta\\ x' =&-ysin\theta + xcos\theta \end{aligned}$
矩陣形式：
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta&0 & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$
那一個物體沿着x，y，z 軸分別旋轉$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 度數就把3個矩陣相乘就好了。

$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\gamma& -sin\gamma&0 & 0 \\ sin\gamma& cos\gamma& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\beta&0 & sin\beta& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\beta& 0 & cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ 0 & sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\beta cos\gamma & sin\alpha sin\beta cos\gamma - sin\gamma cos\alpha & sin\beta cos\alpha cos\gamma +sin\alpha sin\gamma & 0\\ cos\beta sin\gamma & cos\alpha cos\gamma + sin\alpha sin\beta sin\gamma & -sin\alpha cos\gamma + sin\gamma sin\beta cos\alpha & 0 \\ -sin\beta & sin\alpha cos\beta& cos\alpha cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$

縮放

縮放感覺也沒的說，直接上公示，下面公式表示沿着x，y，z軸分別縮放a，b，c倍：
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$