【前綴和】B004_NK_病毒檢測（暴力 / 累加）

一、Problem

小明最近在做病毒自動檢測，他發現，在某些library 的代碼段的二進制表示中，如果包含子串並且恰好有k個1，就有可能有潛在的病毒。library的二進制表示可能很大，並且子串可能很多，人工分析不可能，於是他想寫個程序來先算算到底有多少個子串滿足條件。如果子串內容相同，但是開始或者結束位置不一樣，則被認爲是不同的子串。

注：子串一定是連續的。例如"010"有6個子串，分別是 "0, “1”, “0”, “01”, “10”, “010”

輸入描述:
第一行是一個整數k，表示子串中有k個1就有可能是病毒。其中 0 <= k <= 1 000 000

第二行是一個字符串，就是library的代碼部分的二進制表示。字符串長度 <= 1 000 000。並且字符串中只包含"0"或"1".

輸出描述:
輸出一個整數，所有滿足只包含k個1的子串的個數。

輸入例子1:
1
1010

輸出例子1:
6

例子說明1:
滿足條件的子串有："1", "1", "10", "01", "10", "010".

二、Solution

這題和 能被 K 整除的子數組 很像…

方法一：dp

定義狀態： $f[cnt-k]$ 表示字符 1 的個數爲 $cnt-k$ 時，字符 0 的個數，以下面的數據爲例

k = 1
0010111

cnt 表示到達當前位置 $i$ 時遇到的字符 1 的個數。

• 當 $i = 2$ 時，此時 cnt = 1，ans 應加上 $f[cnt-1] = 2$（位置 2 的前面的 0 的個數爲 2)
• 當 $i = 4$ 時，此時 cnt = 2，ans 應加上 $f[cnt-1] = f[1] = 1$（位置 4 前面的 0 的個數爲 1 個）
• …
• 當 $i = 6$ 時，此時 cnt = 4，ans 應加上 $f[cnt-1] = f[3] = 0$（位置 6 前面的 0 的個數爲 0 個）

總結：當前位置的狀態依賴的是到達當前位置 $i$ 時剩餘字符 1 的數量爲 cnt-k 時字符 0 的數量。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static class Solution {
        void init() {
            Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
            int k = sc.nextInt();
            char[] s = sc.next().toCharArray();

            int n = s.length, cnt = 0, f[] = new int[n];
            long ans = 0;
            f[0] = 1;

            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (s[i] == '1')
                    cnt++;
                if (cnt - k >= 0)
                    ans += f[cnt-k];
                f[cnt]++;
            }
            System.out.println(ans);
        }
    }
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
        s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O()$，
• 空間複雜度：$O()$，