[CF908D]New Year and Arbitrary Arrangement

题目

传送门 to luogu

传送门 to VJ

传送门 to CF（不知道为什么我登不上去……我手打的网址 😎 ）

思路

设计一个动态规划的思路，$f(a,b)$ 表示，已经有了 $a$ 个字母 a ，有 $b$ 个子串 ab ，期望子串数量。转移是比较简单的，如果是放了字母 a ，那么转移至 $f(a+1,b)$ ，反之，转移到 $f(a,b+a)$ 。乘上概率就可以推出递推式 $f(a,b)=\frac{p_a}{p_a+p_b}f(a+1,b)+\frac{p_b}{p_a+p_b}f(a,b+a)$

边界呢？显而易见的边界是 $b\ge k$ 时 $f(a,b)=b$ 。但是这样对 $a$ 就没有限制了，$a$ 可以飞的很高！

当 $a$ 很高，也就是 a 很多的时候，放一个 b 就结束了。所以我们自己手动计算 $a+b\ge k$ 时 $f(a,b)$ 的值。枚举 a 又放了几个，就可以写出 $f(a,b)=\sum_{i=0}^{+\infty}\left(\frac{p_a}{p_a+p_b}\right)^i\cdot\left(\frac{p_b}{p_a+p_b}\right)\cdot(a+b+i)$

化简一下，得到 $f(a,b)=a+b+\frac{p_a}{p_b}$

可以 $\mathcal O(k^2)$ 的求出 $dp$ 数组了……吗？转移唯一有环的地方在于 $f(0,0)$ 。

我们避开它。显然 $f(0,0)$ 最终会变成状态 $f(1,0)$ 。即 $f(1,0)=f(0,0)$ 。

战斗结束。输出 $f(1,0)$ 即可。本质是 $f(0,0)$ 。其实直接解方程也挺好理解的。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint() {
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
void writeint(int_ x){
	if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar((x%10)^48);
}
# define MB template < typename T >
MB void getMax(T &a,const T &b){ if(a < b) a = b; }
MB void getMin(T &a,const T &b){ if(b < a) a = b; }
# define FOR(i,n) for(int i=0; i<(n); ++i)

const int Mod = 1e9+7;
int qkpow(int_ base,int q){
	int ans = 1;
	for(; q; q>>=1,base=base*base%Mod)
		if(q&1) ans = ans*base%Mod;
	return ans;
}
const int MaxN = 1000;
int dp[MaxN][MaxN], k, pa, pb, inva, invb, invc;

int work(int i,int j){
	if(i+j >= k)
		return (i+j+1ll*pa*invb%Mod)%Mod;
	if(dp[i][j] != -1) return dp[i][j];
	int &x = dp[i][j] = 0;
	x = (1ll*work(i+1,j)*pa%Mod*invc+x)%Mod;
	x = (1ll*work(i,j+i)*pb%Mod*invc+x)%Mod;
	return x;
}

int main(){
	k = readint();
	pa = readint();
	pb = readint();
	inva = qkpow(pa,Mod-2);
	invb = qkpow(pb,Mod-2);
	invc = qkpow(pa+pb,Mod-2);
	memset(dp,-1,MaxN*MaxN<<2);
	printf("%d\n",work(1,0));
	return 0;
}