[XJOI趣味赛]抗疫斗争

题目

传送门 to XJOI（需要账号）

题目概要
博弈规则如下：

• 一堆石子轮流取，取完者胜。
• 第一次可以取任意多个，甚至取完。但不能不取。
• 从第二次开始，取的数量都不能超过上一次（对手的那一次），但不能不取。

显然先手必胜。但是第一次最少取多少个能够必胜呢？石子数为 $n$ 时，这个问题的答案为 $h_n$ 。

现在，咱们只需要求出 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}h_d$ 就行了！$n$ 是给定的！

没必要输出辣么长的数字，咱们取模 $998244353$ 再输出吧。

数据范围与约定
对于 $95\%$ 的数据，$n\le 5\times 10^{13}$

对于 $100\%$ 的数据，$n\le 10^{15}$

思路

先找找 $h_n$ 的规律。注意到在 $n$ 为奇数时，先手取一个石子就能获胜——以后二者都只能一个一个的拿。那么，在 $n$ 为偶数时，不会有人想要后手得到 $n'$ 为奇数的情况。更确切地说，二者每次拿走石子的数量都是偶数。所以，把两个石头捆绑在一起，我们得到 $h_{2n}=2h_n$

递归终点是 $n$ 为奇数，所以我们可以直接写出 $h_n=\max_{2^k|n}k=lowbit(n)$

对于 $95\%$ 的数据，可以 $\mathcal O(\sqrt n \log n)$ 整除分块。$\mathcal O(\log n)$ 是用来计算 $h$ 的前缀和的。

若想得到更高分，枚举可能的 $h$ 的取值。记 $g(n)=\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ ，那么答案就是 $\sum_{k=0}^{+\infty}2^k\left[g\middle(\middle\lfloor\frac{n}{2^k}\middle\rfloor\middle)-g\middle(\middle\lfloor\frac{n}{2^{k+1}}\middle\rfloor\middle)\right]$

为什么是这个式子？因为 $g(n)=\sum_{xy\le n}1$ ，所以 $g(\lfloor\frac{n}{2^k}\rfloor)=\sum_{xy\le\frac{n}{2^k}}1=\sum_{2^kxy\le n} 1=\sum_{(2^kx)y\le n}1$ 。

说白了，我们强硬的给其中一个数增添 $2^k$ 这个因数。

但是也可能超过 $2^k$ 啊？所以我们减去 $g(\lfloor\frac{n}{2^{k+1}}\rfloor)$ 来修正。

计算 $2^k$ 很快，计算 $g(n)$ 需要整除分块 $\mathcal O(\sqrt n)$ ，所以我们整理一下，得到 $ans=g(n)+\sum_{k=1}^{+\infty}(2^k-2^{k-1})g\left(\middle\lfloor\frac{n}{2^k}\middle\rfloor\right)$

时间复杂度呢？显然应该是 $\sum_{k=0}^{+\infty}\sqrt{\frac{n}{2^k}}=\sqrt n\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^k=(2+\sqrt 2)\sqrt n$

所以总复杂度是 $\mathcal O(\sqrt n)$ 的。尽管我仍然过不了？大概是因为太卡常，所以只多给了五分吧

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint() {
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
void writeint(int_ x){
	if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar((x%10)^48);
}
# define MB template < typename T >
MB void getMax(T &a,const T &b){ if(a < b) a = b; }
MB void getMin(T &a,const T &b){ if(b < a) a = b; }
# define FOR(i,n) for(int i=0; i<(n); ++i)

const int Mod = 998244353;
int g(int_ n){
	int_ res = 0;
	for(int_ l=1,r; l<=n; l=r)
		r = n/(n/l)+1, res += (r-l)*(n/l);
	return res%Mod;
}

int main(){
	int_ n, ans = 0; cin >> n;
	for(int k=1; (1ll<<k)<=n; ++k){
		ans += (1ll<<k>>1)%Mod*g(n/(1ll<<k))%Mod;
		if(ans >= Mod) ans -= Mod;
	}
	cout << (ans+g(n))%Mod << endl;
	return 0;
}