C/C++ 汉诺塔问题描述与实现

汉诺塔问题

汉诺塔(tower of hanoil)问题是源于印度一个古老传说。是递归应用中非常经典的一种表现。

问题大致描述如下

假设有A、B、C三个木桩和n个大小均不相同的盘子，从小到大编号依次为1、2、3 … n，编号越大直径越大。起初，这些盘子均被套在木桩A上，现在希望将A木桩上的盘子借助B木桩当桥梁，以最少次数全部移到C木桩上。在移动时还需遵循以下规则:

1. 每次只能移动一个盘子，而且只能从最上面的盘子开始移动。
2. 盘子可以从任意一个木桩移动到另一个木桩。
3. 直径较小的盘子永远只能至于直径较大的盘子之上.

先分析只有一个盘子的情况，根据这些盘子移动步骤，带来的现象找出汉诺塔问题的规律。

当 n = 1时

移动次数：$2^{1}-1=1$

直接将盘子从A木桩移动到C木桩

当 n = 2时

移动次数：$2^{2}-1=3$

①将1号盘子从A木桩移动到B木桩
②将2号盘子从A木桩移动到C木桩
③将1号盘子从B木桩移动到C木桩

当 n = 3时

移动次数：$2^{3}-1=7$

①将1号盘子从A木桩移动到C木桩
②将2号盘子从A木桩移动到B木桩
③将1号盘子从C木桩移动到B木桩
④将3号盘子从A木桩移动到C木桩
⑤将1号盘子从B木桩移动到A木桩
⑥将2号盘子从B木桩移动到C木桩
⑦将1号盘子从A木桩移动到C木桩

当n的值不大时，我们可以用图解解决问题，但是当n的值较大时，再用图解问题就会变得困难。从这三种情况可以大致发现汉诺塔移动的规律，归纳为3个步骤

1、将n-1个盘子，从木桩A移动到木桩B。
2、将第n个最大盘子，从木桩A移动到木桩C。
3、将n-1个盘子，从木桩B移动到木桩C。

用递归方法描述汉诺塔的算法函数

void hanoi(int n, const char *p1, const char *p2, const char *p3)
{
	if(n==1)	//递归出口
		cout<<"盘子从"<< p1 <<"移到"<< p3;
	else
	{
		haoni(n-1,p1,p3,p2);
		cout<<"盘子从"<< p1 <<"移动到"<< p3;
		haoni(n-1,p2,p1,p3);
	}
}

移动n个盘子需要的最少移动次数

int hanoi(int n)
{
 if (n == 1)
  return 1;
 else
  return 2 * hanoi(n - 1)+1;
}