篩法求質數------------2012年12月30日

        問題描述:使用篩法求質數。有一個很神奇的篩子，可以給它一個數i，這個篩子有辦法把i的所有倍數去掉。請用這個方法求出2到N之間的所有質數。要求，程序不能使用乘法和除法，只能用加或減，以求加快速度。

        該問題的思路來自《C語言名題精選百則技巧篇》，很慚愧，我對這樣的涉及一些數學知識的題很少有解決的辦法，我需要在這一方面加強。

        我把書中的思路歸納如下，並加上了我自己的一些想法。

        1.   2的倍數都不是質數，所以不比考慮2的倍數。2是質數，所以考慮的數的集合是   2i+3,i=0,1,2,3,4.......

        2.   求質數，只需要處理到num/2就可以了。在程序中MAX爲基準，算出2到2*MAX+3之間的質數，實際也是處理到MAX就停止了。

        3.   程序不能使用乘法，只能使用加法和減法，所以就需要作一些數學方面的處理:2i+3是一個奇數，要去除它的倍數。在第1點中，已經去除了2的倍數，所以就不用管2i+3的偶數倍的數了，只需要處理2i+3的奇數倍的數了。所以，我們需要去除(2n+1)(2i+3),n=1,1,2,3,4....當然，不能去除2i+3本身。然後對(2n+1)(2i+3)做一個變形，朝着2N+3這樣的形式去變形(ps:這是我以前在數學證明題中經常做的)。變形過程:(2n+1)(2i+3)=2n(2i+3)+2i+3=2[n(2i+3)+i]+3;這就是2N+3的形式了(N就是n(2i+3)+i)。由於在程序中我們是以i作爲索引的，所以我們用篩子篩出爲止爲N的數，也就是刪除位置爲n(2i+3)+i的數。這樣，就不難寫出程序了。

        代碼如下:

 1 #include <stdio.h>
 2 #define MAX 1000
 3 #define SAVE 0
 4 #define DELETE 1
 5 
 6 int sieve[1000]={0}; //all to SAVE
 7 
 8 int main()
 9 {
10     int i,k;
11     int prime;
12     int count=1;//The sum number of the prime numbers 
13     //2*i+3 is odd numbers
14     for(i=0;i<MAX;i++)
15     {
16         if(sieve[i]==SAVE) //it is a prime number 
17         {
18             //I have a problem here.Why are the front several numbers prime number after one or two sieve process such as 5 or 7 or 11? I just think they are prime nubmers without proving it.  
19             prime=i+i+3; 
20             count++;
21             for(k=prime+i;k<=MAX;k+=prime)
22                 sieve[k]=DELETE;
23         }
24     }
25     printf("%6d",2);
26 
27     for(i=0,k=2;i<MAX;i++)
28     {
29         if(sieve[i]==SAVE)
30         {
31             if(k>10) 
32             {
33                 printf("\n"); 
34                 k=1;
35             }
36             int temp=i+i+3;
37             printf("%6d",temp);
38             k++;
39         }
40     }
41     printf("\nThe sum number is %d \n",count);
42     return 0;
43 }

 

        總結:與一些數學變換相結合的程序題是我的一個弱項，自己總是想不到這樣的想法，最根本的原因就是這樣思考得太少了以及數學功底不夠。在以後需要多加強數學知識的學習以及數學與程序相結合的算法(數據結構)甚至是項目實踐等等練習。 

        參考資料:《C語言名題精選百則技巧篇》