理解多層感知機

多層感知機的基本知識

深度學習主要關注多層模型。在這裏，我們將以多層感知機（multilayer perceptron，MLP）爲例，介紹多層神經網絡的概念。

隱藏層

下圖展示了一個多層感知機的神經網絡圖，它含有一個隱藏層，該層中有5個隱藏單元。

表達公式

具體來說，給定一個小批量樣本$\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$，其批量大小爲$n$，輸入個數爲$d$。假設多層感知機只有一個隱藏層，其中隱藏單元個數爲$h$。記隱藏層的輸出（也稱爲隱藏層變量或隱藏變量）爲$\boldsymbol{H}$，有$\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}$。因爲隱藏層和輸出層均是全連接層，可以設隱藏層的權重參數和偏差參數分別爲$\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}$和 $\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}$，輸出層的權重和偏差參數分別爲$\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}$和$\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}$。

我們先來看一種含單隱藏層的多層感知機的設計。其輸出$\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$的計算爲

$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$

也就是將隱藏層的輸出直接作爲輸出層的輸入。如果將以上兩個式子聯立起來，可以得到

$\boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o.$

從聯立後的式子可以看出，雖然神經網絡引入了隱藏層，卻依然等價於一個單層神經網絡：其中輸出層權重參數爲$\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o$，偏差參數爲$\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o$。不難發現，即便再添加更多的隱藏層，以上設計依然只能與僅含輸出層的單層神經網絡等價。

激活函數

上述問題的根源在於全連接層只是對數據做仿射變換（affine transformation），而多個仿射變換的疊加仍然是一個仿射變換。解決問題的一個方法是引入非線性變換，例如對隱藏變量使用按元素運算的非線性函數進行變換，然後再作爲下一個全連接層的輸入。這個非線性函數被稱爲激活函數（activation function）。

下面我們介紹幾個常用的激活函數：

ReLU函數

ReLU（rectified linear unit）函數提供了一個很簡單的非線性變換。給定元素$x$，該函數定義爲

$\text{ReLU}(x) = \max(x, 0).$

可以看出，ReLU函數只保留正數元素，並將負數元素清零。爲了直觀地觀察這一非線性變換，我們先定義一個繪圖函數xyplot。

%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    # d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel(name + '(x)')

x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

Sigmoid函數

sigmoid函數可以將元素的值變換到0和1之間：

$\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.$

y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

tanh函數

tanh（雙曲正切）函數可以將元素的值變換到-1和1之間：

$\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.$

y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

依據鏈式法則，tanh函數的導數

$\text{tanh}'(x) = 1 - \text{tanh}^2(x).$
下面繪製了tanh函數的導數。當輸入爲0時，tanh函數的導數達到最大值1；當輸入越偏離0時，tanh函數的導數越接近0。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

關於激活函數的選擇

ReLu函數是一個通用的激活函數，目前在大多數情況下使用。但是，ReLU函數只能在隱藏層中使用。

用於分類器時，sigmoid函數及其組合通常效果更好。由於梯度消失問題，有時要避免使用sigmoid和tanh函數。

在神經網絡層數較多的時候，最好使用ReLu函數，ReLu函數比較簡單計算量少，而sigmoid和tanh函數計算量大很多。

在選擇激活函數的時候可以先選用ReLu函數如果效果不理想可以嘗試其他激活函數。

多層感知機

多層感知機就是含有至少一個隱藏層的由全連接層組成的神經網絡，且每個隱藏層的輸出通過激活函數進行變換。多層感知機的層數和各隱藏層中隱藏單元個數都是超參數。以單隱藏層爲例並沿用本節之前定義的符號，多層感知機按以下方式計算輸出：

$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$

其中$\phi$表示激活函數。