算法分析之工作分配問題

    ACM中的工作分配問題是一個典型的回溯問題，利用回溯思想能很準確地得到問題的解。下面就這個問題好好分析下。

問題描述：
    設有n件工作分配給n個人。爲第i個人分配工作j所需的費用爲c[i][j] 。試設計一個算法，計算最佳工作分配方案，爲每一個人都分配1 件不同的工作，並使總費用達到最小。

解題思路：
    由於每個人都必須分配到工作，在這裏可以建一個二維數組c[i][j]，用以表示i號工人完成j號工作所需的費用。給定一個循環，從第1個工人開始循環分配工作，直到所有工人都分配到。爲第i個工人分配工作時，再循環檢查每個工作是否已被分配，沒有則分配給i號工人，否則檢查下一個工作。可以用一個一維數組x[j]來表示第j號工作是否被分配，未分配則x[j]=0，否則x[j]=1。利用回溯思想，在工人循環結束後回到上一工人，取消此次分配的工作，而去分配下一工作直到可以分配爲止。這樣，一直回溯到第1個工人後，就能得到所有的可行解。在檢查工作分配時，其實就是判斷取得可行解時的二維數組的一下標都不相同，二下標同樣不相同。

樣例分析：
    給定3件工作，i號工人完成j號工作的費用如下：
10 2 3
2 3 4
3 4 5

    假定一個變量count表示工作費用總和，初始爲0，變量i表示第i號工人，初始爲1。n表示總的工作量，這裏是取3。c[i][j]表示i號工人完成j號工作的費用，x[j]表示j號工作是否被分配。算法如下：

void work(int i,int count){
  if(i>n)
    return ;
  for(int j=1;j<=n;j++)
    if(x[j] == 0){
      x[j] = 1;
      work(i+1,count+c[i][j]);
      x[j] = 0;
    }
}

    那麼在這裏，用回溯法的思想就是，首先分配的工作是：
10:c[1][1]  3:c[2][2]  5:c[3][3]  count=18;
   
    此時，所有工人分配結束，然後回溯到第2個工人重新分配：
10:c[1][1]  4:c[2][3]  4:c[3][2]  count=18;

    第2個工人已經回溯到n，再回溯到第1個工人重新分配：
2:c[1][2]  2:c[2][1]  5:c[3][3]  count=9;

    回溯到第2個工人，重新分配：
2:c[1][2]  4:c[2][3]  3:c[3][1]  count=9;

    再次回溯到第1個工人，重新分配：
3:c[1][3]  2:c[2][1]  4:c[3][2]  count=9;

    回溯到第2個工人，重新分配：
3:c[1][3]  3:c[2][2]  3:c[3][1]  count=9;

    這樣，就得到了所有的可行解。而我們是要得到最少的費用，即可行解中和最小的一個，故需要再定義一個全局變量cost表示最終的總費用，初始cost爲c[i][i]之和，即對角線費用相加。在所有工人分配完工作時，比較count與cost的大小，如果count小於cost,證明在回溯時找到了一個最優解，此時就把count賦給cost。
    到這裏，整個算法差不多也快結束了，已經能得到最終結果了。但考慮到算法的複雜度，這裏還有一個剪枝優化的工作可以做。就是在每次計算局部費用變量count的值時，如果判斷count已經大於cost，就沒必要再往下分配了，因爲這時得到的解必然不是最優解。

#include<iostream>
using namespace std;

int n,cost=0;
int x[100],c[100][100];

void work(int i,int count){
    if(i>n && count<cost){
      cost = count;
      return ;
    }
    if(count<cost)
      for(int j=1;j<=n;j++)
        if(x[j] == 0){  
          x[j] = 1;  
          work(i+1,count+c[i][j]);  
          x[j] = 0;  
         }
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
      for(int j=1;j<=n;j++){
        cin>>c[i][j];
        x[j] = 0;  
      }
      cost+=c[i][i];  
    }
    work(1,0);
    cout<<cost<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}