Data Structures in C++：圖

• 參考文章：鍵盤上的鋼琴師_v5的博客

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相關定義

圖、頂點、鄰接關係(邊)

圖 graph 是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成， 通常表示爲: $G(V,E)$ 其中，G表示一個圖，V是圖G中 頂點 vertex 的集合，E是圖G中 邊 的集合。

• 線性結構中，元素僅有線性關係，每個元素只有一個直接前驅和直接後繼，邏輯關係爲“前驅-後繼”；
• 樹形結構中，數據元素（結點）之間有着明顯的層次關係，每層上的元素可能和下一層中多個元素相關，但只能和上一層中一個元素相關。邏輯關係爲“parent-child”；
• 圖形結構中，數據元素（頂點）之間具有任意關係，圖中任意兩個數據元素之間都可能相關，邏輯關係稱爲 鄰接 adjacent

有向圖、無向圖、網

• 無向邊 undirected：若頂點Vi到Vj之間的邊沒有方向，則稱這條邊爲無向邊，用無序偶對 $(V_i,V_j)$ 來表示，則左側無向圖表示爲：$G= (V_1,E_1)$，其中頂點的集合$V_1=\{A，B，C，D\}$; 邊的集合 $E_1=\{(A,B) ,(B,C),(C,D), (D,A) , (A,C)\}$

• 有向邊 directed：若從頂點$V_i$ 到$V_j$的邊有方向，則稱這條邊爲有向邊，也稱爲 弧, 用有序偶 $<V_i,V_j>$ 來表示， $V_i$稱爲弧尾，$V_j$稱爲弧頭，即$V_i$指向$V_j$。 如果圖中任意兩個頂點之間的邊都是有向邊，則稱該圖爲有向圖。 右側有向圖表示爲：$G= (V_2, E_2)$，其中頂點集合$V_2=\{A,B,C,D\}$; 弧集合 $E2=\{<A,D>, <B,A>, <C,A>, <B,C>\}$

• 網 或 有權圖：每條邊上帶有 權weight 的圖，也分有向和無向。

• 完全無向圖：該無向圖中任意兩個頂點之間都存在邊，n個頂點共含有 $C_n^2 = \frac{n×(n-1)}{2}$條邊；

• 完全有向圖：該有向圖中任意兩個頂點之間都存在方向相反的兩條弧，n個頂點共含有 $2×C_n^2 =n×(n-1)$條邊；

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圖的抽象數據類型

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圖的存儲結構

鄰接矩陣

鄰接表

鄰接矩陣和鄰接表的比較

以無向圖$G(V, E)$爲例，含有n個頂點e條邊：

• 空間複雜度：鄰接矩陣 $O(n^2)$，鄰接表 $O(n+e)$
• 訪問鄰接點的平均時間複雜度：鄰接矩陣 $O(n)$，鄰接表 $O(e/n)$
• 唯一性：頂點編號確定後，鄰接矩陣是唯一的，鄰接表不是，取決於創建圖時的輸入次序和頂點在邊表的插入算法。

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圖的遍歷方式

從圖中某一頂點出發訪遍圖中其餘頂點，且使每一個頂點僅被訪問一次，這一過程就叫做圖的遍歷。

深度優先搜索 DFS
從圖中某個頂點v出發，訪問此頂點，然後從v的未被訪問的鄰接點出發深度優先遍歷圖，直至圖中所有和v 有路徑相通的頂點都被訪問到。

廣度優先搜索 BFS

廣度優先遍歷就類似於樹的層序遍歷。

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圖的代碼實現

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圖的應用

最小生成樹：用最短的路徑連接所有頂點

求解兩點之間的最短路徑

拓撲排序