C++刷題筆記：動態規劃

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斐波那契數列

最簡單的遞歸法：
存在大量的重疊子問題，時間複雜度爲 $O(2^n)$，很慢，會超時。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n==0 or n==1) return n;
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
};

動態規劃： 直接從子樹求得答案，過程是從下往上，時間複雜度：O(n)，空間複雜度：O(n)

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n==0 or n==1) return n;
        int a{0}, b{1}, c;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
};

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青蛙跳臺階

題目描述：
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法（先後次序不同算不同的結果）。

分析：
假設 $f[i]$ 表示跳上第 $i$ 個臺階的方法數，而第n個臺階可以是由第n-1個臺階跳上的，也可以是由第n-2個臺階跳上的，所以方法數 $f[n] = f[n-1] + f[n-2]$ ，且初始條件 f[1] = 1，f[2] = 2. 本質上還是斐波那契數列。不再附代碼了。

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變態跳臺階

題目描述：
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

分析：
假設 $f[i]$ 表示跳上第 $i$ 個臺階的方法數，求 $f[n]$ 。

假設現在已經跳到了第 n 個臺階，那麼前一步可以從哪些臺階到達呢？

• 如果上一步跳 1 步到達第 n 個臺階，說明上一步在第 n-1 個臺階，而跳到第n-1個臺階的方法數爲f[n-1]；
• 如果上一步跳 2 步到達第 n 個臺階，說明上一步在第 n-2 個臺階，而跳到第n-2個臺階的方法數爲f[n-2]；
• 。。。
• 如果上一步跳 n-1 步到達第 n 個臺階，說明上一步在第 1 個臺階。已知跳到 第1個臺階的方法數爲f[1] = 1
• 如果上一步跳 n 步到達第 n 個臺階，說明上一步在第 0 個臺階。已知跳到 第0個臺階的方法數爲f[0] = 0

那麼總的方法數就是所有可能的和：f[n] = f[n-1] + f[n-2] + … + f[1]
顯然初始條件還是 f[1] =1, f[2] = 2

繼續分析：

f[n] = f[n-1] + f[n-2] + … + f[1]， 那麼 f[n-1] 呢？
顯然，f[n-1] = ff[n-2] + … + f[1]
原來如此：f[n] = f[n-1] × 2

繼續分析：

累乘法:
f[n] = f[n-1] × 2
f[n-1] = f[n-2] × 2
…
f[3] = f[2] × 2 = 2 × 2
所以：f[n] = pow(2, n-1)

return pow(2, n-1);

return 1 << (n-1);