Data Structures in C++：图

• 参考文章：键盘上的钢琴师_v5的博客

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相关定义

图、顶点、邻接关系(边)

图 graph 是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成， 通常表示为: $G(V,E)$ 其中，G表示一个图，V是图G中 顶点 vertex 的集合，E是图G中 边 的集合。

• 线性结构中，元素仅有线性关系，每个元素只有一个直接前驱和直接后继，逻辑关系为“前驱-后继”；
• 树形结构中，数据元素（结点）之间有着明显的层次关系，每层上的元素可能和下一层中多个元素相关，但只能和上一层中一个元素相关。逻辑关系为“parent-child”；
• 图形结构中，数据元素（顶点）之间具有任意关系，图中任意两个数据元素之间都可能相关，逻辑关系称为 邻接 adjacent

有向图、无向图、网

• 无向边 undirected：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对 $(V_i,V_j)$ 来表示，则左侧无向图表示为：$G= (V_1,E_1)$，其中顶点的集合$V_1=\{A，B，C，D\}$; 边的集合 $E_1=\{(A,B) ,(B,C),(C,D), (D,A) , (A,C)\}$

• 有向边 directed：若从顶点$V_i$ 到$V_j$的边有方向，则称这条边为有向边，也称为 弧, 用有序偶 $<V_i,V_j>$ 来表示， $V_i$称为弧尾，$V_j$称为弧头，即$V_i$指向$V_j$。 如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。 右侧有向图表示为：$G= (V_2, E_2)$，其中顶点集合$V_2=\{A,B,C,D\}$; 弧集合 $E2=\{<A,D>, <B,A>, <C,A>, <B,C>\}$

• 网 或 有权图：每条边上带有 权weight 的图，也分有向和无向。

• 完全无向图：该无向图中任意两个顶点之间都存在边，n个顶点共含有 $C_n^2 = \frac{n×(n-1)}{2}$条边；

• 完全有向图：该有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，n个顶点共含有 $2×C_n^2 =n×(n-1)$条边；

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图的抽象数据类型

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图的存储结构

邻接矩阵

邻接表

邻接矩阵和邻接表的比较

以无向图$G(V, E)$为例，含有n个顶点e条边：

• 空间复杂度：邻接矩阵 $O(n^2)$，邻接表 $O(n+e)$
• 访问邻接点的平均时间复杂度：邻接矩阵 $O(n)$，邻接表 $O(e/n)$
• 唯一性：顶点编号确定后，邻接矩阵是唯一的，邻接表不是，取决于创建图时的输入次序和顶点在边表的插入算法。

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图的遍历方式

从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历。

深度优先搜索 DFS
从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v 有路径相通的顶点都被访问到。

广度优先搜索 BFS

广度优先遍历就类似于树的层序遍历。

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图的代码实现

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图的应用

最小生成树：用最短的路径连接所有顶点

求解两点之间的最短路径

拓扑排序