二维图形裁剪

一、点裁剪

对于点$P(x, y)$在窗口内的充分必要条件是：
$\begin{cases} W_{x_l}\leq x \leq W{x_r}\\ W_{y_l}\leq x\leq W{y_r} \end{cases}$
满足上述条件的不等式组的点应该在窗口内；

二、线段裁剪

2.1 基本概念

1. 线段相对于该窗口的情况有
   （1）线段全部位于窗口的内部（A）；
   （2）线段全部位于窗口外部（B、C）；
   （3）线段的中间部分在窗口内，而二端点在窗口外部（D）；
   （4）线段的一端在窗口内，而另一端在窗口外（E）；

2. 待裁剪线段和窗口的关系
   （1）线段完全可见；
   （2）显然不可见 ；
   （3）线段至少有一端点在窗口之外，但非显然不可见；

2.2 直接求交算法

• 基本思想：判断直线与窗口的位置关系，确定该直线是完全可见、部分可见或完全不可见，然后输出处于窗口内线段的端点，并显示此线段。
  根据直线段和窗口的关系可知：
  （1）整条线在窗口之内。此时，不需剪裁，显示整条线段；
  （2）整条线在窗口之外，此时，不需剪裁，不显示整条线段；
  （3）部分线在窗口之内，部分线在窗口之外。此时，需要求出线段与窗口边界的交点，并将窗口外的线段部分剪裁掉，显示窗口内的部分；

2.3 Cohen-Sutherland 算法

1. 基本思想：对于每条待裁剪的线段$P_1P_2$分三种情况处理：
   （1）若$P_1P_2$完全在窗口内，则显示该线段$P_1P_2$，简称“取”之；
   （2）若$P_1P_2$完全在窗口外，则丢弃该线段，简称“舍”之；
   （3）若线段既不满足“取”的条件，也不满足“舍”的条件，则求线段与窗口边界的交点，在交点处把线段分为两段，其中一段完全在窗口外，可舍弃之，然后对另一段重复上述处理。
2. 编码原则：图形区域划分成九个区域,四位编码$C_tC_bC_rC_l$表示端点所处的位置。
   （1）第一位为“1”时，表示点在$y=y_T$的上方；
   （2）第二位为“1”时，表示点在$y=y_B$的下方；
   （3）第三位为“1”时，表示点在$x=x_R$的右方；
   （4）第四位为“1”时，表示点在$x=x_L$的左方;

3. 算法步骤
   （1）第一步 判别线段两端点是否都落在窗口内，如果是，则线段完全可见；否则进入第二步；
   （2）第二步 判别线段是否为显然不可见，如果是，则裁剪结束；否则进行第三步；
   （3）第三步：求线段与窗口边延长线的交点，这个交点将线段分为两段，其中一段显然不可见，丢弃。对余下的另一段重新进行第一步，第二步判断，直至结束；

4. 编码判断
   对一条线段的可见性测试方法：
   （1）若线段两个端点的四位二进制编码全为0000，即两端点编码逻辑或运算为0，那么该线段完全位于窗口内，可直接保留；
   （2）对两端点的四位二进制编码进行逻辑与运算，若结果不为零，那么整条线段必位于窗口外，可直接舍弃；
   （3）否则，这条线段既不能直接保留，也不能直接舍弃，它可能与窗口相交。此时，需要对线段进行再分割，即找到与窗口边线的一个交点，根据交点位置，赋予四位二进制编码，并对分割后的线段按照一定的顺序（如左右下上）进行检查，决定保留、舍弃或再次进行分割。重复这一过程，直到全部线段均被舍弃或保留为止。

三、多边形裁剪

3.2 Sutherland-Hodgman算法

1. 思路：用窗口的四条边所在的直线依次裁剪多边形。窗口的每条边所在直线将二维平面分成两部分，包含窗口一部分为内侧，称为可见侧，另一部分不包含窗口，称为外侧，称不可见侧。
   
   以窗口左边界为例我们看一下四种情况如何进行处理。假设当前处理的多边形的边为SP；
   
2. 栽剪过程
   （1）使用左边栽剪，计算$P_5P_4$以及$P_5P_1$与左边框的交点$I_1$和$I_2$。保留可见侧$I_1P_4$和$I_2P_1$并重新编号各顶点，得到裁剪结果（a）
   
   （2）使用上边栽剪，计算$P_0P_5$以及$P_5P_4$与上边框的交点$I_1$和$I_2$。保留可见侧$I_1P_0$和$I_2P_4$并重新编号各顶点，得到裁剪结果（b）
   
   （3）使用右边栽剪，计算$P_3P_4$以及$P_2P_3$与上边框的交点$I_1$和$I_2$。保留可见侧$I_1P_4$和$I_2P_2$并重新编号各顶点，得到裁剪结果（c）
   
   （4）使用下边栽剪，计算$P_1P_2$以及$P_2P_3$与上边框的交点$I_1$和$I_2$。保留可见侧$I_1P_1$和$I_2P_3$并重新编号各顶点，得到裁剪结果（d）
   
   （5）依次连接各顶点得到栽剪完的多边形（e）
   
3. 特点：裁剪算法采用流水线方式，适合硬件实现，可推广到任意凸多边形裁剪窗口；
4. 问题：一个凹多边形可能被裁剪成几个小的多边形，如何确定这些小多边形的边界？
   
   输入顶点BAFEDC，输出顶点：V1 A V2 V3 E D V4

3.3 Weiler-Athenton算法

1. 裁剪窗口为任意多边形（凸、凹、带内环）的情况；
   
2. 原理：可以用一个有内孔的凹多边形去裁剪另一个也有内孔的凹多边形。各多边形的外部边界取顺时针方向，而其内部边界或孔取逆时针方向。因此，沿多边形的一条边走动，其右边为多边形的内部。
3. 基本概念：
   （1）被裁剪的多边形称为主多边形 PS；
   （2）裁剪窗口称为裁剪多边形 PW；
   （3）主多边形和裁剪多边形的边界若相交，交点必定成对地出现，其中一个交点为主多边形边进入裁剪多边形内部时的交点（称进点），另一个交点则为离开时的交点（称出点）。这两类交点分别用进点表和出点表来存放。
4. 思想：从Ps的任一顶点出发，跟踪检测PS的每一条边，当PS与Pw的有效边相交时，按如下规则处理：
   （1）若Ps的边进入Pw，则输出可见直线段，沿Ps的边继续。
   （2）若Ps的边从Pw出来， Ps与Pw交点为前交点，输出Ps中到前交点的可见部分，从前交点开始，沿窗口边界顺时针检测Pw的边，找到Ps与Pw最靠近前交点的新交点，同时输出由前交点以此新交点这间窗边上的线段。
   （3）返回前交点，再沿Ps处理各条边，直到处理完Ps的所有边，回到起点为止。
5. 交点的奇异情况处理
   （1）与裁剪多边形边重合的主多边形的边不参与求交点；
   （2）对于顶点落在裁剪多边形的边上的主多边的边，如果落在该裁剪边的内侧，将该顶点算作交点；而如果这条边落在该裁剪边的外侧，将该顶点不看作交点

四、字符裁剪方法

4.1 字符的裁剪

1. 简单裁剪方法：用点阵字符的掩膜或矢量字符的网格大小作为字符的包围框，若该包围框在窗口内，则显示字符；否则，不予显示。
2. 精确裁剪方法：对于点阵字符，判断组成其笔画的每个像素点是否位于窗口内。对于矢量字符，对组成其笔画的每条线段进行裁剪。

4.2 字符串的剪裁

字符串剪裁3种可选择的方法。

1. 串精度裁剪
2. 字符精度裁剪
3. 字符的精密(笔画、像素精度)剪裁

4.3 凸包

1. 引入：为了减少计算量，在进行真正的求交计算之前，往往先用凸包等辅助结构进行粗略地比较，排除那些显然不相交的情形。
   2.定义：一个图形的凸包，就是包含这个图形的凸区域（凸多边形、凸多面体），它不是唯一的。