圖解數據結構(05) -- 二叉樹

1、什麼是樹

在數據結構中，樹的定義如下：
樹（tree）是 n（n≥0）個節點的有限集，當n=0時，稱爲空樹，在任意一個非 空樹中，有如下特點：

• 有且僅有一個特定的稱爲根的節點；
• 當n>1時，其餘節點可分爲m（m>0）個互不相交的有限集，每一個集合本身又是一個樹，並稱爲根的子樹
  下面這張圖，就是一個標準的樹結構：
  
  在上圖中，節點1是根節點（root）；節點5、6、7、8是樹的末端，沒有孩子，被稱爲葉子節點（leaf）；圖中的虛線部分，是根節點1的其中一個子樹，同時，樹的結構從根節點到葉子節點，分爲不同的層級；從一個節點的角度來看，它的上下級和同級節點關係如下：
  
  在上圖中，節點4的上一級節點，是節點4的父節點（parent）；從節點4衍生出 來的節點，是節點4的孩子節點（child）；和節點4同級，由同一個父節點衍生出來 的節點，是節點4的兄弟節點（sibling）；樹的最大層級數，被稱爲樹的高度或深度。【上圖這個樹的高度是4】

2、什麼是二叉樹

二叉樹（binary tree）是樹的一種特殊形式；顧名思義，這種樹的每 個節點最多有2個孩子節點【這裏是最多有2個，也可能只有1個，或者沒有孩子節點】二叉樹的結構如圖所示：

二叉樹節點的兩個孩子節點，一個被稱爲左孩子（left child），一個被稱爲右孩子（right child）；
這兩個孩子節點的順序是固定的，就像人的左手就是左手，右手就是右手，不能夠顛倒或混淆，此外，二叉樹還有兩種特殊形式，一個叫作滿二叉樹，另一個叫作完全二叉樹！

滿二叉樹

一個二叉樹的所有非葉子節點都存在左右孩子，並且所有葉子節點都在同一層 級上，那麼這個樹就是滿二叉樹，如下圖：【滿二叉樹的每一個分支都是滿的】

完全二叉樹

對一個有n個節點的二叉樹，按層級順序編號，則所有節點的編號爲從1到n；如果這個樹所有節點和同樣深度的滿二叉樹的編號爲從1到n的節點位置相同，則這個二叉樹爲完全二叉樹，如下圖：

在上圖中，二叉樹編號從1到12的12個節點，和前面滿二叉樹編號從1到12的節點位置完全對應，因此這個樹是完全二叉樹；完全二叉樹的條件沒有滿二叉樹那麼苛刻：滿二叉樹要求所有分支都是滿的； 而完全二叉樹只需保證最後一個節點之前的節點都齊全即可。

二叉樹的物理存儲結構

鏈式存儲結構

鏈式存儲是二叉樹最直觀的存儲方式，如下圖：

一個節點最多可以指向左右兩個孩子節點，所以二叉樹的每一個節點包含3部分：

• 存儲數據的data變量
• 指向左孩子的left指針
• 指向右孩子的right指針

數組存儲結構

使用數組存儲時，會按照層級順序把二叉樹的節點放到數組中對應的位置上； 如果某一個節點的左孩子或右孩子空缺，則數組的相應位置也空出來

這樣可以更方便地在數組中定位二叉樹的孩子節點和父節點；假設一個父節點的下標是parent，那麼它的左孩子節點下標就是2×parent + 1；右孩子節點下標就是2×parent + 2；反過來，假設一個左孩子節點的下標是leftChild，那麼它的父節點下標就是 （leftChild-1）/ 2；
假如節點4在數組中的下標是3，節點4是節點2的左孩子，節點2的下標可以直接通過計算得出：

節點2的下標 = (3-1)/2 = 1

顯然，對於一個稀疏的二叉樹來說，用數組表示法是非常浪費空間的

3、二叉樹的應用

二叉樹包含許多特殊的形式，每一種形式都有自己的作用，但是其最主要的應用還在於進行查找操作和維持相對順序這兩個方面

【1】查找

二叉樹的樹形結構使它很適合扮演索引的角色：二叉查找樹（binary search tree），這種二叉樹的主要作用就是進行查找操作；二叉查找樹在二叉樹的基礎上增加了以下幾個條件：

• 如果左子樹不爲空，則左子樹上所有節點的值均小於根節點的值
• 如果右子樹不爲空，則右子樹上所有節點的值均大於根節點的值
• 左、右子樹也都是二叉查找樹

下圖就是一個標準的二叉查找樹：

例如查找值爲4的節點，步驟如下：

• 1、訪問根節點6，發現4<6；
  
• 2、訪問節點6的左孩子節點3，發現4>3；
  
• 3、訪問節點3的右孩子節點4，發現4=4，這正是要查找的節點
  
  對於一個節點分佈相對均衡的二叉查找樹來說，如果節點總數是n，那麼搜索節點的時間複雜度就是O(logn)，和樹的深度是一樣的。

【2】 維持相對順序

二叉查找樹要求左子樹小於父節點，右子樹大於父節點，正是這樣保證了二叉樹的有序性；新插入的節點，同樣要遵循二叉排序樹的原則；例如插入新元素5，由於5<6， 5>3，5>4，所以5最終會插入到節點4的右孩子位置。

再如插入新元素10，由於10>6，10>8，10>9，所以10最終會插入到節點9的右孩子位置

這一切看起來很順利，然而卻隱藏着一個致命的問題；試着在二叉查找樹中依次插入9、8、7、6、5、4，結果如下：

要解決這個問題就要涉及二叉樹的自平衡，二叉樹自平衡的方式有多種：如紅黑樹、AVL樹、樹堆等
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內容來源：《漫畫算法》