紅黑樹的介紹（一）

爲什麼要有紅黑樹？

BST（binary search tree）查詢的時間複雜度是$\log n$。

但是，當它退化成鏈表的時候：

查詢時間複雜度就變成了$O(n)$。

這是很糟糕的情況，雖然它還是符合二叉樹的定義（左小右大）。

所以，我們要限制一些規則，來讓樹保持平衡（儘可能的），以此保證查詢效率爲$\log n$。

紅黑樹就是這麼一棵儘可能保持平衡的二叉搜索樹。

什麼是紅黑樹？

紅黑樹要滿足四個性質：

1. 每個節點要麼是紅的，要麼是黑的
2. 根節點和葉節點都是黑的
3. 每個紅色節點的父節點是黑的。或者說，不可能出現連續的兩個紅色節點
4. 對任意節點$x$，它到葉子節點的簡單路徑所包含的黑色節點的數量是一樣的，我們稱之爲其黑高度是相等的。

前三點很好理解，第四點是什麼意思呢？

隨便找一個節點$x$，找一條路徑到葉子節點，簡單路徑的意思就是你別回頭。

它的任意一條簡單路徑所包含的黑色節點是相同的。

比如上圖，黑色節點都是5個，我們說，其黑高度爲5。

---

舉一個紅黑樹的例子：

性質1，2，3都輕而易舉地滿足，我們看性質4。

首先是葉子節點，它們是空指針，它們的黑高度是0。

3，8，10，11，22，26的黑高度都是1。

7，18的黑高度是2。

因此性質四也滿足。

---

爲什麼查詢時間複雜度是$\log n$?

我們將證明$h \le 2\log(n+1)$

其中，$h$是樹高，$n$是key的數量，也就是節點的數量（不包含葉子的數量）。

我們的方法是：將紅色節點上移合併到黑色節點。

合併後，這就變成了一棵2-3-4樹，因爲葉子有兩片的，有三片的，也有四片的。

我們數一下，合併前的紅黑樹，它的key的數量是8，葉子的數量是9。

一般來說，葉子節點的數量=key的數量+1=n+1

回到2-3-4樹。現在假定2-3-4樹的樹高爲$h'$。

因爲每個節點至少有兩個分支，至多有四個分支，所以：

$h'^2\le(n+1)\le h'^4$

我們關注左半部分。

$h' \le \log(n+1)$

那麼$h$與$h'$有什麼關係呢？

由性質3可以得到，

$h' \ge \frac{1}{2} h$

所以

$h \le 2\log(n+1)$

這就證明了查詢的時間複雜爲$O(\log n)$。

操作

紅黑樹的操作只要包括變色和旋轉。

比如要插入一個元素15，默認是紅色節點，就必然會違反紅黑樹的一些性質。只有通過變色和旋轉才能保證四條性質。

我們講一下旋轉。

旋轉有左旋和右旋。

右旋：

上圖的$\alpha,\beta,\gamma$都是subtree。

右旋其實很好理解，它必須要保證BST的性質，即

$\forall a \in \alpha,b \in \beta, c \in \gamma \quad 有a\le A \le b \le B \le c$

左旋反過來即可。