洛谷P3374 樹狀數組 1

題目

一個數列，滿足如下操作
①給其中一個數加x
②求區間和
數列長度n，操作數m滿足$1<=n,m<=500000$

分析

樹狀數組基礎支持這兩種操作，核心思想是將 1~i 的整體和分成許多個小的區間和，分割的條件是二進制拆分。

首先介紹一個lowbit，意思是取到二進制下的最後一個1，其所代表的數字。
如7=(111)₂，lowbit(7)=(1)₂=1；6=(110)₂，lowbit(6)=(10)₂=2

然後回到二進制拆分
比如7=2²+2¹+2⁰=(111)₂，發現二進制拆分的前綴（只能在1的位置取前綴）對應一個區間：$[x-lowbit(x)+1,x]$，x是某一個數
如2²+2¹+2⁰對應[6+1,7]，即7這一個位置，然後拆掉末尾
2²+2¹，對應[4+1，6]，即[5,6]，拆掉末尾
2²，對應[1,4]。
發現其實是這樣一個過程，某個前綴值+1，到下一個前綴爲止，這樣[5,6]的表示其實就是[2²+1，2²+2¹]
這就是按二進制位劃分了一些塊，表示一部分的區間和

畫圖能得到這樣的圖。
我們在做單點加法的時候，是要從一個點x找到所有包含這個點的區間，這個只需要x+=lowbit(x)即可迭代尋找（逆過程），圖上表現爲從左下向右上

在做區間求和的時候，首先將$[l,r]$的求和轉化爲$[1,r]-[1,l-1]$的求和，轉化爲樹狀數組的基礎操作。
之後，將整體的前綴和劃分爲一系列C[i]的和，根據上面的區間劃分，發現C[i]表示的是$[i-lowbit(i)+1,i]$的區間和，這樣，只要i-=lowbit(i)，就能迭代到下一個區間的末端，在圖上表現爲從右下到左上

代碼

#include<iostream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x&(-x))//lowbit操作：x&(-x)，取到最低位的1及其後的0
class Binary_Indexed_Tree {
private:
	const static int MAXN = 500005;
	int C[MAXN];
	int N;//一共1~n
public:
	void setn(int n)
	{
		N = n;
	}
	void add(int p, int v)//單點加
	{
		while (p <= N)
		{
			C[p] += v;
			p += lowbit(p);
		}
	}
	int query(int p)//查詢從1到p的前綴和
	{
		int ans = 0;
		while (p)
		{
			ans += C[p];
			p -= lowbit(p);
		}
		return ans;
	}
}T;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n, m, temp;
	cin >> n >> m;//n個數，m個操作
	T.setn(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> temp;
		T.add(i, temp);
	}
	int t1, t2;
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		cin >> temp >> t1 >> t2;
		if (temp == 1)T.add(t1, t2);
		else cout << T.query(t2) - T.query(t1 - 1) << endl;
	}

	return 0;
}

將原數組變爲差分數組，即可將樹狀數組變成單點查詢+區間改值