最短路 稠密圖 —— 傳遞閉包

題目鏈接

題目描述：

在每年的校賽裏，所有進入決賽的同學都會獲得一件很漂亮的t-shirt。但是每當我們的工作人員把上百件的衣服從商店運回到賽場的時候，卻是非常累的！所以現在他們想要尋找最短的從商店到賽場的路線，你可以幫助他們嗎？

輸入描述：

輸入包括多組數據。每組數據第一行是兩個整數N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有幾個路口，標號爲1的路口是商店所在地，標號爲N的路口是賽場所在地，M則表示在成都有幾條路。N=M=0表示輸入結束。接下來M行，每行包括3個整數A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A與路口B之間有一條路，我們的工作人員需要C分鐘的時間走過這條路。
輸入保證至少存在1條商店到賽場的路線。

輸出描述：

對於每組輸入，輸出一行，表示工作人員從商店走到賽場的最短時間

樣例輸入

2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0

樣例輸出：

3
2

由題可知，點少線多，所以可以優先考慮 稠密圖 ，用 傳遞閉包 即可通過。先上代碼，後序還有 傳遞閉包 的證明哦。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 101;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int dp[N][N];

int main() {
    int n, m, x, y, k;
    while(scanf("%d%d", &n, &m), n != 0) {
        memset(dp, inf, sizeof(dp));
        for(int i = 1; i <= m; ++i) {
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);
            dp[x][y] = dp[y][x] = w;
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i) dp[i][i] = 0;
        // 傳遞閉包的三重循環
        for(int k = 1; k <= n; ++k) 
            for(int i = 1; i <= n; ++i) 
                for(int j = 1; j <= n; ++j) 
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]);
        printf("%d\n", dp[1][n]);
    }
    return 0;    
} 

另外我想借此來證明一下 傳遞閉包 的正確性。證：

傳遞閉包是三重循環結構，其分別是 枚舉過渡點、枚舉起點、枚舉終點（起點和終點可以看做一體），但是你有沒有考慮過 先枚舉起點、終點， 再枚舉過渡點（方案二） 是否正確呢， 接下來我們就具體的證明一下這兩種方案的正確性：
我們首先需要建立一個模型（起點和終點固定，枚舉過渡點），如圖：
通過 枚舉過渡點 來更新路徑（減少起點到終點路徑中的過渡點（當某條路徑中的過渡點個數爲零時 更新起點到終點的距離））
（說明：方案一，先確定過渡點，枚舉起點和終點，再枚舉過渡點
方案二，先確定起點和終點，枚舉過渡點，再枚舉起點和終點）
單輪這個模型，我們就能判斷出方案二是錯誤的，因爲在枚舉上側路徑中的過渡點時，無法更新路徑，而這個模型適合方案一。
最後我們把這個基礎的模型通過變換和嵌套就可以得到一個圖，反之一個圖可以拆解爲多個這樣的模型，所以可證方案一是適合一個圖的。