首先，觀察題意，可以發現在最長鏈下再接一個點，結果一定更優。
也就是說，可以免費選一條最長鏈，之後正常選。
我們枚舉選的最長鏈，然後算出剩下部分的最優解。
有4部分：
1、鏈上每個點都選一個。
2、鏈上剩下的部分。
3、鏈的左面。
4、鏈的右面。
1可以直接計算。
那麼，我們需要先進行樹形揹包，然後再通過某方式將其餘3個合併。
我們知道，在此問題中，合併2個揹包是\(O(k)\)的；
但3個及以上則是\(O(k^2)\)的，無法承受。
所以，我們只能在計算中就把其中兩個合併，這樣就只需合併2個了。
可以發現，3和4是正常的樹形揹包，而2是一個貪心的問題。
但是，我們沒有時間給鏈上的點排序，再貪心選擇。
所以，只能將2轉爲正常的樹形揹包問題。
可以這樣想：選x則要選fx，選x的第二個則要選x的第一個。
那麼，我們可以把大於1的拆點，拆成1和a-1。連上父子關係。
不難發現，這樣我們就只需要3,4兩個合併了。所以，只要算出3,4部分，就能\(O(k)\)出解了。
先考慮如何進行樹形揹包：
樹形揹包有2種實現：dfs合併的和dfs序上dp的。
由於本題每個節點上有多個，所以之前的\(O(nk)\)的分析不適用，複雜度是\(O(nk^2)\)，顯然超時。
而且，複雜度的瓶頸合併揹包至少是\(O(k^2)\)的，這個是max卷積，不能優化。
所以，這種方法不行。
但是，由於我們不需要知道每個節點的子節點的選擇信息（如每個點選擇了多少子樹節點），
所以，可以考慮dfs序上dp的算法。見博客
這個算法的狀態數是\(O(nk)\)的，且相當於逐漸添加，沒有合併揹包。
添加的過程是一個多重揹包(由於每個節點上有多個)，可以用單調隊列優化。這部分可以做到\(O(nk)\)。
而且，我們發現：對於問題3，4（即樹鏈的左右），在dfs序上是一段連續區間。這意味着我們可以直接得出3,4的dp值。
對樹做先序遍歷，可以得到鏈的右面（後綴）。對樹做後遍歷，可以得到鏈的左面（前綴）。
總結下：
首先，拆點。
然後，對樹進行先後序遍歷，並用多重揹包的單調隊列優化算出dp值，\(O(nk)\)。
最後，枚舉一個葉子，在\(O(k)\)時間算出結果，總共\(O(nk)\)。
此外，對於子節點，在3,4兩部分都會被算到，要注意排除。
注意卡常。
代碼：
#include <stdio.h>
#define inf 999999999
#define setdp(i, j, x) dp[i * (k + 1) + j] = x
#define getdp(i, j) dp[(i) * (k + 1) + j]
#define getod(i, j) ld[(i) * (k + 1) + j]
int fr[40010],ne[40010],v[40010],bs = 0,sl[40010],sz[40010],n,k;
void addb(int a, int b) {
v[bs] = b;
ne[bs] = fr[a];
fr[a] = bs++;
}
int xl[40010],si[40010],jl[40010],tm = 0,x1[40010],x2[40010];
void dfs1(int u) {
x1[u] = tm;
xl[tm++] = u;
si[u] = 1;
for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) {
jl[v[i]] = jl[u] + sz[v[i]];
dfs1(v[i]);
si[u] += si[v[i]];
}
}
void dfs2(int u) {
for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) dfs2(v[i]);
xl[++tm] = u;
x2[u] = tm;
}
int dl[500010],dz[500010],he = 0,ta = 0,dp[60000010],ld[60000010];
void insert(int i, int x) {
dz[i] = x;
while (he < ta && dz[dl[ta - 1]] <= x) ta -= 1;
dl[ta++] = i;
}
void del(int i) {
if (he < ta && dl[he] == i) he += 1;
}
int getma() {
if (he < ta) return dz[dl[he]];
else return - inf;
}
bool ez[20010],kz[20010];
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d%d", &n, &k);
bs = 0;
for (int i = 1; i <= n + n; i++) fr[i] = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++) ez[i] = kz[i] = false;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int a;
scanf("%d%d%d", &a, &sl[i], &sz[i]);
if (i > 1) addb(a, i);
ez[a] = true;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (sl[i] > 1) {
sl[i + n] = sl[i] - 1;
sz[i + n] = sz[i];
addb(i, i + n);
sl[i] = 1;
kz[i] = true;
}
}
jl[1] = sz[1];
tm = 0;
dfs1(1);
for (int i = tm - 1; i >= 0; i--) {
he = ta = 0;
for (int j = 0; j <= k; j++) {
int u = xl[i],
ma = getdp(i + si[u], j);
del(j - sl[u] - 1);
if (j > 0) insert(j - 1, getdp(i + 1, j - 1) - sz[u] * (j - 1));
int t = getma() + sz[u] * j;
if (t > ma) ma = t;
setdp(i, j, ma);
}
}
for (int i = 0; i <= tm * (k + 1) + k; i++) {
ld[i] = dp[i];
dp[i] = 0;
}
tm = 0;
dfs2(1);
for (int i = 1; i <= tm; i++) {
he = ta = 0;
for (int j = 0; j <= k; j++) {
int u = xl[i],
ma = getdp(i - si[u], j);
del(j - sl[u] - 1);
if (j > 0) insert(j - 1, getdp(i - 1, j - 1) - sz[u] * (j - 1));
int t = getma() + sz[u] * j;
if (t > ma) ma = t;
setdp(i, j, ma);
}
}
int jg = -inf;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (ez[i]) continue;
int ma = -inf;
for (int j = 0; j <= k; j++) {
int t = getod(x1[i] + 1, j);
if (!kz[i]) t += getdp(x2[i] - 1, k - j);
else t += getdp(x2[i + n] - 1, k - j);
if (t > ma) ma = t;
}
ma += jl[i];
if (ma > jg) jg = ma;
}
printf("%d\n", jg);
for (int i = 0; i <= tm * (k + 1) + k; i++) ld[i] = dp[i] = 0;
}
return 0;
}