基础算法题——地宫取宝（深搜、剪枝）

地宫取宝

问题描述
　　X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
　　地宫的入口在左上角，出口在右下角。
　　小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
　　走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
　　当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
　　请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。
输入格式
　　输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
　　接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
输出格式
　　要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
样例输入
2 2 2
1 2
2 1
样例输出
2
样例输入
2 3 2
1 2 3
2 1 5
样例输出
14

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这道题与一般的dfs题目大同小异，做题基本思路：递归+剪枝

细节问题：
①拿宝物条件：格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大才能拿。
②如何设置cache数组：与描述dfs状态的变量相匹配，并将元素全部置为-1。宝物价值：0<=Ci<=12，若cache数组元素全部置为0的话，则会遗漏取价值为0的宝物的路径。
③如何设置没拿宝物时Max的值：初始化Max=-1。宝物价值：0<=Ci<=12，一开始没拿宝物不能有Max=0，否则会遗漏取价值为0的宝物的路径。（注意：Max等于负数cache数组的下标不能为负数，要计作Max+1，同时cache数组记录Max的下标上限要加1，因为当Max=12时，Max+1=13）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int bk[55][55], n, m, k;
int cache[55][55][14][13];	//记忆路径，防止重复，剪枝 
const long long Mod=1e9+7;

long long dfs(int n1, int m1, int Max, int k1)
{
	if(cache[n1][m1][Max+1][k1]!=-1)	//使用Max+1避免Max=-1对cache数组下标造成影响 
		return cache[n1][m1][Max+1][k1];
		
	long long ans=0;		//未走过的路径创建一个ans变量 
	if(n1==n||m1==m||k1>k)	//出界，直接退出 
		return 0;
	if((n1==n-1&&m1==m-1&&k1==k)||(k1==k-1&&n1==n-1&&m1==m-1&&bk[n1][m1]>Max))
	{
		ans++;
		return ans;
	}
		
	//不拿 
	ans+=dfs(n1+1, m1, Max, k1);
	ans+=dfs(n1, m1+1, Max, k1);
	//拿 
	if(bk[n1][m1]>Max)
	{
		ans+=dfs(n1+1, m1, bk[n1][m1], k1+1);
		ans+=dfs(n1, m1+1, bk[n1][m1], k1+1);
	}
	cache[n1][m1][Max+1][k1]=ans%Mod;
	return ans%Mod;
}

int main()
{
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=0; i<n; i++)
	for(int j=0; j<m; j++)
	cin>>bk[i][j];
	memset(&cache, -1, sizeof(cache));	
	//Max初始化为-1
	cout<<dfs(0, 0, -1, 0);
	return 0;
}

该题具有一般性，比较适合作为一道深搜模板题。