Fibonacci
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Description
In the Fibonacci integer sequence, F0 =0, F1 = 1, and Fn = Fn −1 + Fn − 2 for n ≥2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
An alternative formula for the Fibonaccisequence is
.
Given an integer n, your goalis to compute the last 4 digits of Fn.
Input
The input test file will contain multipletest cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing thenumber −1.
Output
For each test case, print the last fourdigits of Fn. If the last four digits of Fn areall zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod10000).
Sample Input
0
9
999999999
1000000000
-1
Sample Output
0
34
626
6875
Hint
As a reminder, matrix multiplication isassociative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by
.
Also, note that raising any 2 × 2 matrixto the 0th power gives the identity matrix:
.
本題的解法在題中已經講得很清楚了。此題如果採用矩陣乘方的樸素算法，n過大時，會超時，所以在此採用矩陣乘方的快速冪算法。
有關快速冪的講解如下：
矩陣的快速冪是用來高效地計算矩陣的高次方的。將樸素的o（n）的時間複雜度，降到log（n）。
這裏先對原理（主要運用了矩陣乘法的結合律）做下簡單形象的介紹：
一般一個矩陣的n次方，我們會通過連乘n-1次來得到它的n次冪。
但做下簡單的改進就能減少連乘的次數，方法如下：
把n個矩陣進行兩兩分組，比如：A*A*A*A*A*A => (A*A)*(A*A)*(A*A)
這樣變的好處是，你只需要計算一次A*A，然後將結果(A*A)連乘自己兩次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下發現這次一共乘了3次，少於原來的5次。
其實大家還可以取A^3作爲一個基本單位。原理都一樣：利用矩陣乘法的結合律，來減少重複計算的次數。
以上都是取一個具體的數來作爲最小單位的長度，這樣做雖然能夠改進效率，但缺陷也是很明顯的，取個極限的例子，當n無窮大的時候，你現在所取的長度其實和1沒什麼區別。所以就需要我們找到一種與n增長速度”相適應“的”單位長度“，那這個長度到底怎麼去取呢？這點是我們要思考的問題。
有了以上的知識，我們現在再來看看，到底怎麼迅速地求得矩陣的N次冪。
既然要減少重複計算，那麼就要充分利用現有的計算結果咯！怎麼充分利用計算結果呢？這裏考慮二分的思想。。
大家首先要認識到這一點：任何一個整數N，都能用二進制來表示。計算機處理的是離散的信息，都是以0,1來作爲信號的處理的。可想而知二進制在計算機上起着舉足輕重的地位。它能將模擬信號轉化成數字信號，將原來連續的實際模型，用一個離散的算法模型來解決。
回頭看看矩陣的快速冪問題，我們是不是也能把它離散化呢？比如A^19 => （A^16）*（A^2）*（A^1），顯然採取這樣的方式計算時因子數將是log(n)級別的(原來的因子數是n)，不僅這樣，因子間也是存在某種聯繫的，比如A^4能通過(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通過(A^4)*(A^4)得到，這點也充分利用了現有的結果作爲有利條件。下面舉個例子進行說明：
現在要求A^156,而156(10)=10011100(2)
也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128) 考慮到因子間的聯繫，我們從二進制10011100中的最右端開始計算到最左端。細節就說到這，下面給核心代碼：
1 while(N)
2 {
3 if(N&1)
4 res=res*A;
5 n>>=1;
6 A=A*A;
7 }
裏面的乘號，是矩陣乘的運算，res是結果矩陣。
本題的源代碼如下：
C：
#include<stdio.h>
void matrix_mul(int a[2][2],int b[2][2],intmul[2][2])
{
inti,j,k;
intc[2][2];
for(i=0;i<2;i++)
{
for(j=0;j<2;j++)
{
c[i][j]=0;
for(k=0;k<2;k++)
{
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%10000;
}
}
}
for(i=0;i<2;i++)
{
for(j=0;j<2;j++)
{
mul[i][j]=c[i][j];
}
}
}
int main()
{
intn;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&(n!=-1))
{
inta[2][2]={1,1,1,0};
intmul[2][2]={1,0,0,1};
while(n)
{
if(n&1)
{
matrix_mul(mul,a,mul); //注意理解參數的傳遞
}
n>>=1;
matrix_mul(a,a,a); //注意理解參數的傳遞
}
printf("%d\n",mul[0][1]);
}
return0;
}