CF1152C Neko does Maths

題目描述

（描述爲翻譯，翻譯來自洛谷）
給定兩個正整數a,b，找到非負整數k使a+k與b+k的最小公倍數最小，如有多解輸出最小的k

$a ,b ≤ 10^6$
對於這種題我們顯然需要一些數論知識來幫助我們找到思路
那麼我們首先想到的是lcm和gcd是有關係的
即$lcm(a,b) = \frac{a*b}{gcd(a,b)}$
那麼在這道題中就是$lcm(a+k, b+k) = \frac{(a+k) * (b+k)}{gcd((a+k), (b+k))}$
然後我們可以想到gcd的一些性質
那麼由更相減損術我們可以知道$gcd(a,b) = gcd(b,a-b)$其中，a >b;
那麼我們就可以把原式子中的$gcd(a+k,b+k)$寫成$gcd(b+k, a-b)$
那麼我們考慮，設 $x = gcd(b+k, a-b)$那麼x一定是a-b的因子的其中一個，這時候我們只需要算出一個k使x是b+k和a-b的gcd我們就可以求出一個lcm，
這裏當$b\mod x == 0$時k = 0;
!=時 k = b/x * x + x; 這裏的除是向下取整，這樣就保證了x是b+k的最大因子。
因此我們可以枚舉a-b的所有因子，求出對應的k和lcm，對於每個結果進行比較求min即可。

沒想到的是，k是會爆ll的 所以記得開ll寫

$Code$

#include<bits/stdc++.h>

#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long

using namespace std;

inline ll gcd(ll a, ll b){//沒用
	return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}


ll a, b, k, t;
ll ans = 1e18;

int main()
{
	cin >> a >> b;
	if(a < b){
		a ^= b, b ^= a, a ^= b;
	}
	ll num = 1e18;
	
	for(ll i = 1; i * i <= a-b; ++i){//i,j都爲枚舉的因子
		ll tk;
		if((a-b) % i == 0){
			ll j = (a-b) / i;
			
			if(b % i == 0) tk = 0;
			else tk = (b / i + 1) * i - b;
			
			ll num = (a + tk) * (b + tk) / i;
			
			if(num < ans) ans = num, k = tk;
			if(num == ans) k = min(k, tk);

			if(b % j == 0) tk = 0;
			else tk = (b/j + 1) * j - b;
			
			num = (a + tk) * (b + tk) / j;
			if(num < ans) ans = num, k = tk;
			
			else if(num == ans) k = min(k, tk);
		}
	}
	cout << k << endl;
}