劍指Offer——JZ41.和爲S的連續正數序列【滑動窗口】【√N複雜度數學解法】

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題解

• 暴力直接gun粗
• 對於連續區間的問題，前綴和滑動窗口都是不錯的方案。
• 滑動窗口的解法的時間複雜度很顯然是 $O(N)$，實際時間複雜的可以常數降低至 $O(\frac{N}{2})$
• 前綴的話，一遍求前綴數組，然後按照滑動窗口的方式。其實最終都是滑動窗口的思維方式，因爲$O(N^2)$ 枚舉起終點的解法太垃圾了

還有一種官方沒有的解法，時間複雜度可以降低至 $O(\sqrt{N})$：

• 如果長度爲 $n$ 的連續整數和爲$sum$，那麼 $\frac{sum}{n}$ 就是中位數。知道中位數和長度，就可以得到整個序列了
• 可以對 $n$ 進行分類討論：
  $n是奇數：$序列中間數正好是$\frac{sum}{n}$，開始元素爲$\frac{sum}{n}-(\frac{n-1}{2})$。條件爲：n % 2 == 1 && sum % n == 0；
  $n是偶數：$序列偏左的中間數是$\frac{sum}{n}$，開始元素同上。條件爲：(sum%n) * 2 == n
• 那麼n的範圍是多少呢？最小肯定是2，最大的時候，我們就需要使整體和最小。那麼久從1開始算起。根據等差數列和公式，得到條件： $(1+n)*n/2<=S$ → $n<\sqrt{2S}$
• 但是注意，偶數的時候，一定會找到符合題意的麼？
• 例如：n=4的時候，sum=6。按照上述方式劃分得到的是[0,1,2,3]不符合題意。因爲我們只要正整數組合。
• 或者是否會出現[-1,0,1,2…]這種情況呢？我們需要正確性證明。
• 注意到我們所取的 $n$ 的範圍：$[2, \sqrt{2S}]$
• 在這個範圍內的$n$是通過等差數列和公式推導出來的，也就是說，都是滿足等差數列前n項和的n。推算條件的數列最小元素是1.所以，在這個條件下，肯定不會出現非正整數的情況。

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AC-Code

• $O(N)解法$

class Solution {
public:
    vector<vector<int> > FindContinuousSequence(int sum) {
        vector<vector<int>> ans;
        int L = 1, R = 1;    // [L. R] 
        int num = 1;
        while(L <= sum / 2) {
            if(num == sum) {
                vector<int> vec;
                for(int i = L; i <= R; ++i) 
                    vec.push_back(i);
                ans.push_back(vec);
                num -= L;
                ++L;
            }
            else if(num < sum) {
                ++R;
                num += R;
            }
            else {
                num -= L;
                ++L;
            }
        }
        return ans;
    }
};
/*     x-n,...,x,...,x+n
      (2*n+1)*x==sum        */

• $O(\sqrt{N})解法$

class Solution {
public:
    vector<vector<int> > FindContinuousSequence(int sum) {
        vector<vector<int>> ans;
        int n = sqrt(sum * 2);
        for(int i = n; i >= 2; --i) {
            if(i & 1 && sum % i == 0 || (sum % i) * 2 == i) {
                vector<int> vec;
                for(int j = 0, k = (sum / i) - (i - 1) / 2; j < i; ++j, ++k)
                    vec.push_back(k);
                ans.push_back(vec);
            }
        }
        return ans;
    }
};